Идентификация и моделирование систем управления (стр. 1 из 3)

СОДЕРЖАНИЕ

1. Задание 3

2. Построение аналитической модели и ее анализ.

2.1 Построение аналитической модели 4

2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели 11

2.3. Моделирование с использованием солверов 18

2.4. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox 21

2.5. Моделирование с использованием имитационного пакета моделирования динамических систем Simulink 25

1. Задание

Построить аналитическую модель электрической цепи и выполнить анализ динамического процесса после замыкания ключа К.

Схема электрической цепи и параметры составляющих ее компонент:

R1,Ом	R2 ,Ом	R3,Ом	R4,Ом	C1,Ф	L,Гн	В
4	4	4	6	1/25	1/7	30

Рис. 1. Электрическая RLC - цепь

2. Построение аналитической модели и ее анализ.

2.1 Построение аналитической модели

Решение задачи идентификации с последующим анализом динамических процессов в физической системе на основе модели предполагает построение системы дифференциальных или алгебраических уравнений. При решении многомерных задач с помощью ЭВМ наиболее используемыми прикладными программами являются пакеты программ, позволяющие анализировать системы на основе матричной записи дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши или метод переменных состояния или метод пространства состояний). Прежде чем выполнять анализ динамических процессов в системе, необходимо записать систему дифференциальных уравнений в форме Коши, наиболее удобной при использовании ЭВМ.

Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный способ, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками э.д.с. и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяют на источники тока, которые возбуждают ток в том же направлении, что и в исходной схеме, а конденсатор на источник э.д.с. с э.д.с. направленной встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно u_c . В результате схема окажется без реактивных элементов (резистивной), но с дополнительными источниками тока и э.д.с.

В полученной резистивной схеме один из узлов заземляют и составляют уравнения по методу узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов рассчитывают напряжения на источниках тока, эквивалентных индуктивным элементам и токи через источники э.д.с., эквивалентные емкостным элементам. Далее разрешают уравнения цепи относительно производных di_L /dt и du_C /dt и получают запись системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши).

Для составления уравнений в нормальной форме по полученной резистивной схеме, можно использовать также принцип наложения, справедливый для линейных систем и их линейных уравнений. Суть принципа наложения состоит в том, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из э.д.с. в отдельности, и соответственно узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока.

Принцип наложения позволяет разложить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна э.д.с. или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом эти другие источники э.д.с. должны быть замкнуты накоротко с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, но в соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости.

Рассмотрим модель электрической цепи (Рис. 1).

Для построения модели выбираем вектор переменных состояния

т. е. x₁ = u_c ; x₂ = i_L. Так как u_L= L(di_L /dt), то dx₂/dt = di_L /dt = u_L /L, а u_c = 1/C

i_c dt, то dx₁/dt = du_c /dt = i_c / C.

Уравнения состояния в матричной форме в общем виде для

приведенной электрической цепи можно записать так:

( 2.1)

Коэффициенты матриц будем определять методом наложения при рассмотрении эквивалентной резистивной схемы (Рис. 2).

Рис. 2. Эквивалентная резистивная схема.

Запишем систему (2.1) в координатной форме, из которой определим коэффициенты матриц A и B.

Система (2.2)

Для определения коэффициентов матрицы A (коэффициенты матрицы A определяются только топологией электрической цепи и параметрами ее компонент) полагаем внешнее воздействие равное нулю, т.е. все процессы в цепи будут протекать за счет энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. Для

моделирования такого режима необходимо в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0. А для определения коэффициента a₁₁ матрицы A исключить источник тока x₂ = i_L = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:

При условии: E = 0; i_L = 0.

Для измененной схемы определяем i_c = - u_c / (R₂ + R₃) и подставляем в выражение для a₁₁ .В результате получим:

Для определения коэффициента a₁₂ матрицы A восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x₁ = u_c = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:

При условии: E = 0; u_c = 0.

Для измененной схемы определяем i_c =(R₂ /(R₂ + R₃)) i_L

и подставляем в выражение для a₁₂ .В результате получим:

Для определения коэффициента a₂₁ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0 и исключаем источник тока x₂ = i_L = 0.

Соответственно из второго уравнения системы получим:

При условии: E = 0; i_L = 0.

Для измененной схемы определяем u_L = i_c R₂ , для этого находим i_c = - u_c / (R₂ + R₃) и подставляем в u_L = i_c R₂ . Получим: u_L =( - u_c / (R₂ + R₃))R₂ . Тогда

Для определения коэффициента a₂₂ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0, восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x₁ = u_c = 0. Соответственно из второго уравнения системы получим:

Для измененной схемы определяем: u_L = - (R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)) i_L . Тогда a₂₂ = -(1/L)( R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)).

Определение коэффициентов матрицы B (коэффициенты матрицы B определяют вклад входных величин в баланс токов и напряжений) предполагает исключение источника тока x₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x₁ = u_c = 0 и сохранение источника u₁ = E. Тогда для определения коэффициента b₁₁ матрицы B в первом уравнении системы полагаем x₁ = u_c = 0, x₂ = i_L = 0. Получим:

но i_c =0 при любом Е, т. к. ветвь с источником тока разомкнута, то b₁₁ =0.

Для определения коэффициента b₂₁ матрицы B во втором уравнении системы (4. 2) полагаем x₁ = u_c = 0, x₂ = i_L = 0, что предполагает исключение источника тока x₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x₁ = u_c = 0 и сохранение источника u₁ = E. Получим: