Задача 1 (16.88)
Минимизировать функцию f(x) на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием достижения требуемой точности считать выполнение неравенства
Решение:
Найдем первую и вторую производные исходной функции:
Выберем начальное приближение
Результаты запишем в таблице
n | | | |
0 | 0 | 2 | 1 |
1 | -0,2 | 1,91 | -0,1649 |
2 | -0,175697 | 1,908525 | -0,0032 |
3 | -0,17520305 | 1,908524 | -0,0000013 |
n=1
n=2
n=3
n=4
Далее мы заканчиваем вычисления, потому что данная точность
Осуществим проверку при помощи встроенной функции Minimize:
Ответ:
Задача 2 (16.115)
Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти ее градиент
Решение:
Запишем исходную функцию в следующем виде:
где
Тогда матрица Q примет вид:
Найдем градиент
Подставляя в полученную матрицу
Теперь убедимся в выпуклости f(x) в
Так как
Проверка в Mathcad:
Проверка на выпуклость и нахождение градиента в точке x0
Ответ: градиент равен
Задача 3 (16.136)
Минимизировать квадратичную функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при
Решение:
Тогда производные исходной функции будут иметь вид:
Выберем начальное приближение
Для нахождения точки минимума функции
Зная
И так далее по выше описанной цепочке.
Реализуем решение данной задачи в математическом пакете Mathcad.
Функция имеет вид:
Тогда коэффициенты будут равны
Возьмем следующие начальное приближение
|
|
Далее пишем программу