Линейное программирование 2 3 (стр. 1 из 6)

Задача 1 (16.88)

Минимизировать функцию f(x) на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием достижения требуемой точности считать выполнение неравенства

.

Решение:

Найдем первую и вторую производные исходной функции:

Выберем начальное приближение

. И осуществим вычисления по формуле

Результаты запишем в таблице

n
0	0	2	1
1	-0,2	1,91	-0,1649
2	-0,175697	1,908525	-0,0032
3	-0,17520305	1,908524	-0,0000013

n=1

n=2

n=3

n=4

Далее мы заканчиваем вычисления, потому что данная точность

достигнута. В результате мы получаем: и .

Осуществим проверку при помощи встроенной функции Minimize:

,

Ответ:

и

Задача 2 (16.115)

Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти ее градиент

в точке и убедиться в выпуклости f(x) в .

,

Решение:

Запишем исходную функцию в следующем виде:

,

где

Тогда матрица Q примет вид:

Найдем градиент

в точке по формуле , где r – вектор-столбец и равен :

Подставляя в полученную матрицу

, мы получаем следующее значение градиента в данной точке:

Теперь убедимся в выпуклости f(x) в

. Для того, чтобы исходная функция была выпуклой в , достаточно, чтобы матрица Q была положительно определена. Для этого найдем угловые миноры матрицы Q и если они будут больше нуля, то функция f(x) будет выпуклой в .

,

Так как

, ,то функция f(x) выпукла в .

Проверка в Mathcad:

Проверка на выпуклость и нахождение градиента в точке x0

Ответ: градиент равен

и функция f(x) будет выпуклой в .

Задача 3 (16.136)

Минимизировать квадратичную функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при

, .

Решение:

Тогда производные исходной функции будут иметь вид:

Выберем начальное приближение

. Тогда

Для нахождения точки минимума функции

найдем нули ее производной:

Зная

, мы определим следующим образом:

И так далее по выше описанной цепочке.

Реализуем решение данной задачи в математическом пакете Mathcad.

Функция имеет вид:

Тогда коэффициенты будут равны

Возьмем следующие начальное приближение

и :

Далее пишем программу