Линейное программирование 2 3 (стр. 2 из 6)

В результате получаем искомое решение

и функцию :

Ответ:

и

Задача 4 (16.155)

Минимизировать функцию f(x) методом сопряженных направлений, заканчивая вычисления при

, .

Решение:

Тогда частные производные исходной функции будут иметь вид:

Решение будем искать по следующему алгоритму:

Шаг 1.

Выбрав начальное приближение

,

Для нахождения точки минимума функции

используем метод перебора:

=>>

, откуда

Шаг 2.

Для нахождения точки минимума функции

используем метод перебора:

=>>

,

откуда

Шаг 3.

Для нахождения точки минимума функции

используем метод перебора:

=>>

, откуда

Шаг 4.

следовательно требуемая точность достигнута и

Ответ:

Задача 5 (16.193)

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение:

Изобразим на плоскости

наш многоугольник ABCDE (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение

, BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует и EA соответствует

Направление убывания функции

указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , находим ее крайнее положение. В этом положении прямая проходит через вершину многоугольника ABCDE. Поэтому целевая функция принимает минимальное значение в точке , причем

Ответ:

и

Задача 6 (16.205)

Решить задачу линейного программирования в каноническом виде графическим методом.

Решение:

Матрица системы будет иметь следующий вид:

Ранг этой матрицы равен

. Тогда число свободных переменных равно , поэтому для решения задачи можно использовать графический метод. Решив систему ограничений – равенств относительно базисных переменных , , получим:

Исключая с помощью полученной системы переменные

, из выражения для целевой функции, получаем:

С учетом условия неотрицательности

, , и последних равенств получаем следующую задачу:

Изобразим на плоскости

наш многоугольник ABCDEJ (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение

, BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует , EJ соответствует и JA соответствует .

Направление убывания функции

указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , мы видим, что целевая функция содержит сторону AB многоугольника ABCDEJ. Таким образом, все точки отрезка AB являются точками минимума функции . Так как концы A и B имеют координаты и соответственно, то найдем отсюда координаты и :