Квантовые вычисления (стр. 2 из 6)

Спин измеряется в единицах (приведенных постоянных Планка, или постоянных Дирака) и равен

, где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в т. ч. нулевое) или полуцелое положительное число - спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел). В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы. Однако не следует путать понятия спин и спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число — это квантовое число, определяющее величину спина квантовой системы (атома, иона, атомного ядра, молекулы), т. е. её собственного (внутреннего) момента импульса. Проекция спина на любое фиксированное направление z в пространстве может принимать значения J, J—1, ..., —J. Т. о., частица со спином J может находиться в 2J + 1 спиновых состояниях (при J = ¹/₂ - в двух состояниях), что эквивалентно наличию у неё дополнительной внутренней степени свободы.

Ключевым элементом квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга, который говорит о том, что нельзя одновременно точно определить положение частицы в пространстве и ее импульс. Этот принцип объясняет квантование света, а также пропорциональную зависимость энергии фотона от его частоты.

Движение фотона можно описать системой уравнений Максвелла, в то время как уравнение движения любой другой элементарной частицы типа электрона описывается уравнением Шрёдингера, которое более общее.

Система уравнений Максвелла инвариантна относительно преобразования Лоренца. Преобразованиями Лоренца в специальной теории относительности называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. По сути, эти преобразования представляют собой преобразования не только в пространстве, как преобразования Галилея, но и во времени.

Глава II. Основные понятия и принципы квантовых вычислений

Хотя компьютеры стали компактными и значительно быстрее, чем раньше, справляются со своей задачей, сама задача остается прежней: манипулировать последовательностью битов и интерпретировать эту последовательность как полезный вычислительный результат. Бит - это фундаментальная единица информации, обычно представляемая как 0 или 1 в вашем цифровом компьютере. Каждый классический бит физически реализуется макроскопической физической системой, такой как намагниченность на жестком диске или заряд конденсатора. Например, текст, составленный из n символов, и сохраненный на жестком диске типичного компьютера, описывается строкой из 8n нулей и единиц. Здесь и лежит фундаментальное отличие между вашим классическим компьютером и квантовым компьютером. В то время как классический компьютер подчиняется хорошо понятным законам классической физики, квантовый компьютер это устройство, которое использует квантово-механические явления (в особенности квантовую интерференцию), чтобы осуществлять совершенно новый способ обработки информации.

В квантовом компьютере фундаментальная единица информации (называемая квантовый бит или кубит), не двоична, а скорее четверична по своей природе. Это свойство кубита проистекает как прямое следствие его подчиненности законам квантовой механики, которые радикально отличаются от законов классической физики. Кубит может существовать не только в состоянии, соответствующем логическим 0 или 1, как классический бит, но также в состояниях, соответствующих смесли или суперпозиции этих классических состояний. Другими словами, кубит может существовать как ноль, как единица, и как одновременно 0 и 1. При этом можно указать некоторый численный коэффициент, представляющий вероятность оказаться в каждом состоянии.

Идеи о возможности построения квантового компьютера восходят к работам Р. Фейнмана 1982- 1986 гг. Рассматривая вопрос о вычислении эволюции квантовых систем на цифровом компьютере, Фейнман обнаружил "нерешаемость" этой задачи: оказывается, что ресурсы памяти и быстродействия классических машин недостаточны для решения квантовых задач. Например, система из n квантовых частиц с двумя состояниями (спины 1/2) имеет 2ⁿ базисных состояний; для ее описания необходимо задать (и записать в память ЭВМ) 2ⁿ амплитуд этих состояний. Отталкиваясь от этого негативного результата, Фейнман высказал предположение, что, вероятно, "квантовый компьютер" будет обладать свойствами, которые позволят решать на нем квантовые задачи.[3]

"Классические" компьютеры построены на транзисторных схемах, обладающих нелинейными зависимостями между входными и выходными напряжениями. По существу, это бистабильные элементы; например, при низком входном напряжении (логический "0") входное напряжение высокое (логическая "1"), и наоборот. Такой бистабильной транзисторной схеме в квантовом мире можно сопоставить двухуровневую квантовую частицу: состоянию

припишем значения логического , состоянию , - значение логической . Переходам в бистабильной транзисторной схеме здесь будут соответствовать переходы с уровня на уровень: . Однако квантовый бистабильный элемент, получивший название кубит, обладает новым, по сравнению с классическим, свойством суперпозиции состояний: он может быть в любом суперпозиционном состоянии , где — комплексные числа, . Состояния квантовой системы из п двухуровневых частиц имеют в общем случае вид суперпозиции 2ⁿ базовых состоянии . В конечном счете квантовый принцип суперпозиции состояний позволяет придать квантовому компьютеру принципиально новые "способности".

Доказано, что квантовая ЭВМ может быть построена всего из двух элементов (вентилей): однокубитового элемента

и двухкубитового элемента контролируемое НЕ (CNOT). Матрица 2x2 элемента имеет вид:

(1)

Вентиль

описывает поворот вектора состояния кубита от оси z к полярной оси, заданной углами . Если — иррациональные числа, то многократным применением вектору состояния можно придать любую наперед заданную ориентацию. Именно в этом заключается "универсальность" однокубитового вентиля в форме (1). В частном случае получаем однокубитовый логический элемент НЕ (NOT): НЕ = , НЕ = . При физической реализации элемента НЕ необходимо воздействовать на квантовую частицу (кубит) импульсом извне, переводящим кубит из одного состояния в другое. Вентиль контролируемое НЕ исполняют, воздействуя на два взаимодействующих между собой кубита: при этом посредством взаимодействия один кубит контролирует эволюцию другого. Переходы под влиянием внешних импульсов хорошо известны в импульсной магниторезонансной спектроскопии. Вентиль НЕ соответствует перевороту спина под действием импульса (вращение намагниченности вокруг оси на угол ). Вентиль CNOT выполняется на двух спинах 1/2 с гамильтонианом (спин контролирует ). CNOT выполняется в три шага: импульс + свободная прецессия в течение времени - импульс . Если (контролирующий кубит в состоянии ), то при указанных воздействиях контролируемый кубит совершает переходы (или ). Если же (контролирующий кубит в состоянии ), то результат эволюции контролируемого кубита будет другим: ( ). Таким образом, спин , эволюционирует по-разному при

: здесь в - состояние контролирующего кубита.[4]