Исследование точности численного интегрирования 2 (стр. 1 из 5)

Министерство Образования РФ

ГОУ ВПО «Уральский Федеральный Университет» имени первого президента РФ Б. Н. Ельцина

Кафедра «Технологии и средства связи»

Курсовой проект по дисциплине “Информатика”

Исследование точности численного интегрирования

Преподаватель:

Студент:

Группа:

Екатеринбург 2010

Содержание

1.Техническое задание

1.1 Текст задания

1.2 Подробное описание задания

1.3 Метод решения

2. Результаты исследования

3. Анализ результатов

4. Описание применения

4.1 Назначение программы

4.2 Условия применения

4.3 Описание задачи

5. Программа и методика испытаний

5.1 Объект испытаний

5.2 Цель испытаний

5.3 Требования к программе

5.4 Средства и порядок испытаний

5.5 Методы испытаний

6. Руководство пользователя

6.1 Назначение программы

6.2 Условия и характеристики выполнения программы

6.3 Выполнение программы

6.4 Сообщения оператору

6.5 Входные и выходные данные

6.6 Сборка программы

7. Описание программы

7.1 Общие сведения

7.2 Функциональное назначение

7.3 Описание логической структуры

7.4 Используемые технические средства

7.5 Входные и выходные данные

8. Текст программы

1. Техническое задание

1.1 Текст задания

Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методами Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка C.

1.2 Подробное описание задания

Постройте зависимости количества итераций от различный величин критерия точности.

Постройте обратные зависимости критерия точности от количества итераций.

Повторите все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла на смежных итерациях относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.

Исследуйте влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных величинах).

Подынтегральные функции для исследования:

1/x2 [0.5, 3]

1/x [0.1, 9]

sin mx [0, π] m=1,2,7,9

1.3 Метод решения

Предполагается, что отрезок интегрирования [a,b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой). Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа п. Отношение абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности вычисления интеграла.

x, = x₀ + ih, (i = 0,1,..,n), х₀ = а, х_n = b, h=(b-a)/n

Метод трапеций:

где y_i=f(x_i)

Метод Симпсона:

n – обязательно четное.

2. Результаты исследования

Приведем пример построения зависимости количества итераций от критерия точности для подынтегральной функции 1/x, решенный при помощи метода трапеций, критерий точности вычисляется как отношение разности значений интегралов, полученных на смежных итерациях, к аналитическому значению.

Входные данные: номер зависимости (в данном случае – 1), номер делителя (аналитическое значение -2), номер метода, номер функции, верхний и нижний пределы, коэффициент m, равный 1.

Критерий точности автоматически изменяется от 10^-7 до 10^-3, с каждым шагом увеличиваясь в 10^1/24, таким образом, получается 25 точек, которых вполне хватает для исследования зависимости. На каждой итерации кол-во отрезков, на которое делится отрезок интегрирования увеличивается в два раза, т.е n = 2^iter, где itter – кол-во итераций. Циклически вычисляется до достижения заданного критерия точности.

Вычисленные значения сохраняются в файле “D:\Zavisimost1.txt”. После переноса значений в MS Excel создается таблица 1 и строится график, изображенный на рисунке 1.

Таблица 1

критерий точности	1,00E-07	1,47E-07	2,15E-07	3,16E-07	4,64E-07	6,81E-07	1,00E-06	1,47E-06	2,15E-06
Кол-во итераций	22	21	20	20	19	19	18	18	17
критерий точности	3,16E-06	4,64E-06	6,81E-06	1,00E-05	1,47E-05	2,15E-05	3,16E-05	4,64E-05	6,81E-05
Кол-во итераций	17	16	16	15	15	14	14	13	13
критерий точности	1,00E-04	1,47E-04	2,15E-04	3,16E-04	4,64E-04	6,81E-04	1,00E-03
Кол-во итераций	12	12	11	11	11	10	10

Рисунок 1

Результаты всех измерений приведены в таблицах 2, 3, 4, 5, 6.

Таблица 2 - Зависимости кол-ва итераций от критерия точности для функций 1/x, 1/x^2, sin x

Кол-во итераций от критерия точности
к предыдущему значению						к аналитическому значению
критерий точности	Метод трапеций			Метод Симпсона			Метод трапеций			Метод Симпсона
1/x2	1/x	sin x	1/x2	1/x	sin x	1/x2	1/x	sin x	1/x2	1/x	sin x
1,00E-07	22	22	10	21	21	15	22	22	10	21	21	15
1,47E-07	21	21	10	20	20	14	21	21	10	20	20	14
2,15E-07	20	20	10	20	20	13	20	20	10	20	20	13
3,16E-07	20	20	10	19	19	13	20	20	10	19	19	13
4,64E-07	19	19	10	19	19	12	19	19	10	19	19	12
6,81E-07	19	19	10	18	18	12	19	19	10	18	18	12
1,00E-06	18	18	10	18	18	11	18	18	10	18	18	11
1,47E-06	18	18	10	17	17	11	18	18	10	17	17	11
2,15E-06	17	17	10	17	17	10	17	17	10	17	17	10
3,16E-06	17	17	10	16	16	10	17	17	10	16	16	10
4,64E-06	16	16	9	15	15	9	16	16	9	15	15	9
6,81E-06	16	16	9	15	15	8	16	16	9	15	15	8
1,00E-05	15	15	9	14	14	8	15	15	9	14	14	8
1,47E-05	15	15	9	14	14	7	15	15	9	14	14	7
2,15E-05	14	14	9	13	13	7	14	14	9	13	13	7
3,16E-05	14	14	8	13	13	6	14	14	8	13	13	6
4,64E-05	13	13	8	12	12	6	13	13	8	12	12	6
6,81E-05	13	13	8	12	12	5	13	13	8	12	12	5
1,00E-04	12	12	8	11	11	5	12	12	8	11	11	5
1,47E-04	12	12	7	11	11	5	12	12	7	11	11	5
2,15E-04	11	11	7	10	10	5	11	11	7	10	10	5
3,16E-04	11	11	7	10	10	4	11	11	7	10	10	4
4,64E-04	11	11	7	9	9	4	11	11	7	9	9	4
6,81E-04	10	10	6	9	9	4	10	10	6	9	9	4
1,00E-03	10	10	6	9	9	4	10	10	6	9	9	4

Таблица 3 - Зависимость критерия точности интегрирования для функций 1/x^2, 1/x

Критерий точности от кол-во итераций
к предыдущему значению				к аналитическому значению
кол-во итераций	Метод трапеций		Метод Симпсона		Метод трапеций		Метод Симпсона
1/x2	1/x	1/x2	1/x	1/x2	1/x	1/x2	1/x
1	4,25E-01	4,79E-01	3,81E-01	4,69E-01	1,38E+00	4,89E+00	8,68E-01	3,26E+00
2	3,06E-01	4,46E-01	2,15E-01	4,17E-01	5,72E-01	2,38E+00	3,03E-01	1,54E+00
3	1,57E-01	3,81E-01	7,35E-02	3,27E-01	2,04E-01	1,12E+00	8,14E-02	7,06E-01
4	5,87E-02	2,77E-01	1,71E-02	2,06E-01	6,42E-02	5,05E-01	1,75E-02	2,99E-01
5	1,89E-02	1,58E-01	4,52E-03	9,55E-02	1,95E-02	2,09E-01	4,55E-03	1,10E-01
6	6,17E-03	6,89E-02	1,81E-03	3,13E-02	6,23E-03	7,66E-02	1,82E-03	3,26E-02
7	2,20E-03	2,38E-02	8,72E-04	7,28E-03	2,21E-03	2,47E-02	8,74E-04	7,35E-03
8	8,77E-04	7,16E-03	4,34E-04	1,42E-03	8,79E-04	7,24E-03	4,34E-04	1,42E-03
9	3,82E-04	2,08E-03	2,17E-04	3,66E-04	3,82E-04	2,08E-03	2,17E-04	3,66E-04
10	1,77E-04	6,32E-04	1,08E-04	1,49E-04	1,77E-04	6,33E-04	1,09E-04	1,49E-04
11	8,49E-05	2,12E-04	5,42E-05	7,19E-05	8,49E-05	2,12E-04	5,43E-05	7,19E-05
12	4,16E-05	7,99E-05	2,71E-05	3,58E-05	4,16E-05	7,99E-05	2,71E-05	3,58E-05
13	2,06E-05	3,34E-05	1,36E-05	1,79E-05	2,06E-05	3,34E-05	1,36E-05	1,79E-05
14	1,02E-05	1,51E-05	6,78E-06	8,94E-06	1,02E-05	1,51E-05	6,78E-06	8,94E-06
15	5,10E-06	7,12E-06	3,39E-06	4,47E-06	5,10E-06	7,12E-06	3,39E-06	4,47E-06
16	2,55E-06	3,46E-06	1,70E-06	2,24E-06	2,55E-06	3,46E-06	1,70E-06	2,24E-06
17	1,27E-06	1,70E-06	8,48E-07	1,12E-06	1,27E-06	1,70E-06	8,48E-07	1,12E-06
18	6,36E-07	8,45E-07	4,24E-07	5,59E-07	6,36E-07	8,45E-07	4,24E-07	5,59E-07
19	3,18E-07	4,21E-07	2,12E-07	2,79E-07	3,18E-07	4,21E-07	2,12E-07	2,79E-07
20	1,59E-07	2,10E-07	1,06E-07	1,40E-07	1,59E-07	2,10E-07	1,06E-07	1,40E-07

Таблица 4. Зависимости кол-ва итераций от критерия точности для функций sin 7x, sin 9x