Построение детерминированной программой математической модели кристаллизации сплава системы Fe-C (стр. 2 из 2)

Решив эту систему, получили уравнение зависимости С₂(t)=3,85 – 0,0025t.

После соответствующих преобразований и подстановки в соотношение (7) определим темп выделения твёрдой фазы путем дифференцирования уравнения (7) для последующего использования этого выражения в математической модели (6):

, тогда

Введём обозначение dm/dt = A, тогда из (6) получим следующее дифференциальное уравнение:

a (t –t_ep )F dτ = –VСp dt + VLp Adt, откуда получаем

(10)

Условие окончания второго этапа: (11)

III Для третьего участка кристаллизации (перитектическое превращение при постоянной температуре t_р) уравнение баланса энергии принимает вид:

a(t –t_ep )F dτ = VLpdm, откуда (12)

(13)

Условие окончания третьего этапа: (14)

где m_ф – количество твёрдой фазы, которая остаётся после завершения перитектической реакции. m(1) легко определяемое по правилу отрезков на диаграмме состояния (ниже линии t_р).

IV. Для четвертого участка охлаждения твердой фазы в интервале температур от t_р до t_к уравнение баланса энергии по виду аналогично первому участку:

, (15)

Условие окончания четвёртого этапа: (16)

После определения всех уравнений модели переходим к выбору метода и составлению алгоритма численного решения задачи.

Выбор метода и разработка алгоритма решения задачи:

Преобразуем дифференциальные уравнения модели в разностную форму методом Эйлера:

(17)

(18)

(19)

(20)=(17)

Программирование задачи:

Оформленная в системе MATLAB программа по описанному выше итерационному алгоритму:

%Programma of coling Fe-0.16C alloy

clear;

c0=0.16;C=444;R=7000;L=277000;a=126.5;F=0.025;V=0.00025;

t(1)=1800;tp=1499;tk=800;tsr=20;dtau=1;m(1)=0.854;n=10000;

tliq=1539-78.43*c0;

%step_1

for i=1:n; if t>tliq;

t(i+1)=t(i)-a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*C*R);

end;end; s1=length(t);

%step_2

for i=s1:n; if t>tp;

t(i+1)=t(i)+a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(-V*C*R-0.0016*V*L*R/(15.77-0.01025*t(i)).^2);

end;end; s2=length(t);

%step_3

m(s2)=0.854; for i=s2:n; if m<1;

m(i+1)=m(i)+a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*L*R);

t(i+1)=t(i);

end;end; s3=length(t);

%step4

for i=s3:n; if t>tk;

t(i+1)=t(i)-a*F*dtau*(t(i)-tsr)./(V*C*R);

end;end; sk=length(t);

h=0:dtau:dtau*(length(t)-1);

plot(h,t); grid

title('temperature as function of time')

ylabel('temperature,C')

xlabel('time,sec');

Полученная в результате запуска программы математическая модель процесса кристаллизации сплава системы Fe – 0,16 % C

Проверка адекватности модели:

Проверка адекватности программной модели состоит в сопоставлении расчетных у_р и экспериментальных у_э значений, которые выдает преподаватель, и в оценке величины коэффициента парной корреляции r_УрУз по формуле:

и коэффициента регрессии a=tgφ

где y_рi и y_эi - пары соответственных значений расчетных и экспериментальных данных;

и — средние значения у_ри у_эпо совокупности всех п сопоставляемых величин.

Таблица 1

Анализ согласованности расчётных и экспериментальных данных.

время τ, сек	50	100	150	200	250	300
t расчётная, °С	1520	1510	1490	1215	1000	810
t эксперим., °С	1600	1550	1450	1100	850	730

Рис. 5 Проверка адекватности численной модели с помощью графического образа.

r_кр=0,707 (число степеней свободы n=6, уровень доверительной вероятности р=0,95)

Из графического и численного анализа согласования полученных расчетных у_ри экспериментальных у_эданных (рис. 3) можно заключить о принципиальной адекватности полученной модели на основе тесной зависимости между расчетными и экспериментальными данными (так как точки на графике располагаются вблизи биссектрисы угла, образованного координатными осями и r> r_кр(0,95;6) и а≈1).

Исследование процесса с помощью модели.

Поскольку результат проверки адекватности модели положителен, проведём серию расчётов по данной модели, варьируя ряд исходных данных.

Изменим коэффициент теплоотдачи α со 126,5 до 1000 Вт/(м²·К):

Увеличим температуру среды до 200 °С (t_sr начальная = 20°С):

В 2 раза увеличим размеры слитка с 0,05×0,05×0,1 м³ до 0,1×0,1×0,2 м³

Вывод:

Мы ознакомились с методикой построения детерминированной модели и разработали численную модель металлургического процесса для системы с сосредоточенными параметрами. С помощью коэффициента корреляции мы доказали, что построенная модель является адекватной и отражает реальную картину охлаждения и кристаллизации заданного расплава.

При изменении некоторых параметров (коэффициента теплоотдачи α=1000 Вт/(м²К), температура среды t_sr=200°C и размеры слитка 0,1×0,1×0,2 м³) налицо изменения самой модели.

Получили, что при увеличении коэффициента теплоотдачи α примерно в 7,9 раз охлаждение расплава протекает быстрее во столько же раз. А также площадка, соответствующая перитектической реакции, стала ровной, что в большей степени отвечает реальному процессу, поскольку при нонвариантном превращении температура сплава остается неизменной.

При увеличении температуры среды III и IV стадии протекают дольше. Несмотря на то, что t_sr является параметром, который присутствует во всех стадиях, её изменение не оказало видимого влияния на замедление скорости протекания I и II стадий.

При увеличении размеров слитка значительно замедлился процесс кристаллизации сплава на всех стадиях. Здесь столь сильное влияние объясняется тем, что увеличив размеры, мы изменили сразу два параметра: поверхность теплообмена F и объем V, которые фигурируют на каждом шаге (на втором шаге V фигурирует дважды ).