Задачи линейного программирования 2 (стр. 1 из 5)
Лабораторная работа.
Тема Задачи линейного программирования
Цель: преобретение практических навыков применения методов линейного программирования
Задача линейного программирования (ЛП) состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции:
(1.1)При условиях :
(1.2) 
(1.3)где aij, bi, cj – заданные постоянные числа. Функция F(1) называется целевой функцией, выражения (2), (3) – ограничениями. Значения xj
, удовлетворяющие ограничениям (2), (3) образуют область допустимых решений (ОДР) и называются допустимыми. Допустимое решение xj*, при которых целевая функция (1) принимает экстремальное значение, называется оптимальным. В зависимости от структуры выражений (1), (2), (3) для решения задачи ЛП могут применяться различные методы, которые рассмотрены ниже.1.1. Графический метод решения задач ЛП.
Постановка задачи. Метод применяется в том случае, если количество переменных задачи ЛП (1), (2), (3) равно двум, т.е.:
(1.4) 
(1.5) 
(1.6) Методика решения. Процесс решения задачи ЛП графическим методом включает следующие этапы:
1) На плоскости Х1ОХ2 строятся граничные прямые, уравнения которых получают путем замены неравенств (5), (6) на строгие равенства
2) Находятся полуплоскости, определяемые каждым из ограничений (5), (6).
3) Определяется область допустимых решений ОДР задачи на плоскости Х1ОХ2. Если система ограничений (5), (6) несовместна, то задача ЛП не имеет решения.
4) Строится вектор
5) Строится прямая с1х1+с2х2 = 0, перпендикулярная вектору
и передвигается в направлении вектора (при поиске максимума целевой функции); в результате определяется точка А, принадлежащая ОДР, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Если ОДР не ограничена сверху, то задача ЛП не имеет решений.6) Определяют координаты точки А – (х1*,х2*) и максимальное значение функции F*=с1х1* + с2х2*.
Пример. Решить задачу ЛП:
1. На плоскости Х1ОХ2 строим уравнения прямых: х1–х2 = 3; х1 + 2х2 = 4; х2 = 4; х1=0; х2=0
2.
Для каждого из ограничений определяем допустимую полуплоскость и отмечаем ее стрелками. Например, условие 
при х1=0; х2=0 выполняется. Значит точка (0,0) лежит в допустимой полуплоскости.3. Определяем допустимую область для всех ограничений задачи (ОДР). Это многоугольник ABCD.
4. Строим вектор
.5. Строим прямую F=2x1+x2 = 0. Передвигая ее в направлении вектора
, определяем крайнюю точку А, принадлежащую ОДР – это т. А. В т. А функция имеет максимальное значение. Минимальное значение целевая функция принимает в т.С.6. Координаты т. А находятся путем решения системы
Аналогично определяются координаты точки минимума С:
Индивидуальные задания. Решить графическим методом.
Вариант 1.
F = x1 + x2 
max
-3x1 + 2x2 ≤ 1
x1 + 2x2 ≤ 14
2x1 + x2 ≤ 13
3x1 – x2 ≤ 12
x1, x2 ≥ 0
Вариант 2.
F = 3x1 + x2 min
3x1 + 5x2 ≥ 15
5x1 + 3x2 ≥ 15
x1 ≥ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Вариант 3.
F = 3x1 + 3x2 min
x1 + 4x2 ≥ 4
4x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
Вариант 4.
F = 6x1 – 5x2 max
2x1 + 5x2 ≤ 10
5x1 + 2x2 ≤ 10
x1, x2 ≥ 0
Вариант 5.
F = 8x1 + 2x2 max
x1 – 4x2 ≤ 4
–4x1 + x2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
Вариант 6.
F = 2x1 + 3x2 min
x1 + 5x2 ≥ 10
3x1 + 2x2 ≥ 12
2x1 + 4x2 ≥ 10
x1 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Вариант 7.
F = 5x1 + 4x2 + 6x3 max
x1 + x2 + x3 ≤ 6
2x1 + x2 + x3 ≥ 9
3x1 + x2 +2x3 ≥ 11
x1, x2, x3 ≥ 0
Вариант 8.
F = –7x1 + 2x2 min
x1 + x2 ≥ 1
5x1 + x2 ≥ 3
–3x1 + x2 ≤ 3
2x1 + x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Вариант 9.
F = 6x1 + 4x2 min
2x1 + x2 ≥ 3
x1 – 2x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
Вариант 10.
F = – x1 – 2x2 min
5x1 – 2x2 ≤ 4
– x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
Вариант 11.
F = 3x1 + 3x2 max
x1 + x2 ≤ 4
3x1 + x2 ≥ 4
x1 + 5x2 ≥ 4
0 ≤ x1 ≤ 3
0 ≤ x2 ≤ 3
Вариант 12.
F = 7x1 – 2x2 max
x1 + x2 ≤ 5
2x1 – 3x2 ≤ 6
3x1 + x2 ≥ 3
x1 + x2 ≥ 2
x1 – x2 ≥ –3
x1, x2 ≥ 0
Вариант 13.
F = 6x1 – x2 min
x1 + x2 ≥ 3
4x1 – x2 ≥ –4
3x1 – 2x2 ≤ 24
x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
Вариант 14.
F = –3x1 – 2x2 
max
x1 – 2x2 ≤ –3
2x1 + x2 ≤ 10
3x1 – x2 ≥ –5
–x1 + x2 ≥ 3
x1, x2 ≥ 0
Вариант 15.
F = x1 + 2x2 max
2x1 + 3x2 ≤ 8
2x1 + x2 ≤ 6
x1 + x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Вариант 16.
F = –2x1 + x2 min
2x1 + x2 ≤ 8
x1 + 3x2 ≥ 6
3x1 + x2 ≥ 3
x1, x2 ≥ 0
Вариант 17.
F = 6x1 + 4x2 min
2x1 + x2 ≥ 3
x1 – 2x2 ≤ 1
–x1 + 2x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Вариант 18.
F = 4x1 + 3x2 max