Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab Моделирование движения
Контрольная работа
Решение задачи с помощью программ Mathcad и MatLab
Содержание
1. Теоретический расчет формул
Легкая заряженная частица падает вертикально вниз (под влиянием силы тяжести) на одноименно заряженную пластину (начальная скорость обеспечивает движение вниз независимо от соотношения силы тяжести и силы отталкивания). Промоделировать движение частиц, считая поле, созданное пластиной однородным.
Исходные данные:
a) m=10^(-3);
b) q=10^(-9);
c) qp=10^-6);
d) r0=1;
e) ε0=8,85*10^(-12);
f) ε=1;
g) g=9,8.
1. Теоретический расчет формул
Рис. 1. Частица падает на пластину
Данная частица меняет свою высоту над пластиной и скорость движения в 2 случаях:
1. Частица падает на пластину под влиянием силы тяжести. Высота rменяется по закону: r =r0+ν01*t+(g*t^2)/2 . Так как ν01=0, то r=r0 – (g*t^2)/2. Подлетая к пластине на эту частицу действует отталкивающая сила, равная силе Кулона Fk=(qпл*q)/(4*π*ε0*ε*r^2). В какой-то момент t0 скорость частицы будет равна 0, т.е. она «повиснет в воздухе», ее результирующая сила также равна 0: F=Fk+Fm=0. => (qпл*q)/(4*π*ε0*ε*r^2)=mg =>
r - - минимальное значение высоты,на которое падает частица
Скорость меняется по закону:
ν(t)=ν0+dr/dt=2*r0/t–g*t
2. Частица отталкивается от пластины под влиянием силы Кулона. Высота меняется по закону:
r =rк+ν02*t+(а*t^2)/2. Так как ν02=0, получим:
.
Скорость менятся по закону: ν(t)=dr/dt
2. Программа в Mathcad
Исходные данные:
Результаты расчетов:
Задано:
3. Программа в Matlab
m=10^(-3);
q=10^(-9);
qp=10^(-6);
r0=1;
e0=8.85*10^(-12);
e=1;
g=9.8;
rk=sqrt((qp*q)/4*pi*e0*e*m*g);
t1=[0:0.08:0.48];
r1=r0-(g*t1.^2)./2
subplot(2,2,1);plot(t1,r1)
grid on
xlabel('t')
ylabel('r1')
v1=r0./t1-g.*t1
subplot(2,2,2);plot(t1,v1)
grid on
xlabel('t')
ylabel('v1')
t2=[0.5:1:6.5];
r2=rk+((qp*q)/(4*pi*e0*e*m)).*(t2.^2)./2
subplot(2,2,3);plot(t2,r2)
grid on
xlabel('t')
ylabel('r2')
v2=((qp*q)/(4*pi*e0*e*m)).*t2
subplot(2,2,4);plot(t2,v2)
grid on
xlabel('t')
ylabel('v2')
Результат:
Данная задача была решена с помощью двух программ: Mathcad и MatLab. Были построены зависимости высоты, на которой находится точка, от времени и скорости движения этой частицы от времени. Были построены 4 графика: первые 2 – это случай, когда частица падает вниз, а 2 других – частица оттолкнулась от данной пластины. В первом случае высота rуменьшается под действием силы тяжести от некоторого значения r0 до какого-то конечного значения rk. Скорость также уменьшается, так как на нее действует сила Кулона. Она «тормозит» данную частицу. При каком-то значении t0сила Кулона становится равной силе тяжести, а затем и больше нее по модулю, поэтому частица отталкивается и летит вверх по той же траектории (в идеальном случае). Значение rувеличивается, скорость также увеличивается.