Пример. Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции
Сначала построим график функции (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Построение графика функции
Определим по графику начальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функции f(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение
Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов
Определим вид экстремумов первым способом, исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Определение вида экстремума
Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.
Определим вид экстремумов вторым способом, вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной
Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит, точка х2 соответствует минимуму функции.
8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), отрезком [a,b] на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b, a < b, определяется по формуле:
Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0.
Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0
Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f1(x) и f2(x)и прямыми х = а и х = b, вычисляется по формуле:
! |
Внимание. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.
Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями
1. Строим график функций.
2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.
3. Найденные значения x подставляем в формулу
Построение прямой, проходящей через две заданные точки
Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:
1. Прямая задается уравнением y = ax + b,
где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.
Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:
2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.
Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).
Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:
Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.
Рис. 6.7.Решение системы
В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Построение прямой
Построение параболы, проходящей через три заданные точки
Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:
1. Парабола задается уравнением
y = ax2 + bх + с, где
а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.
Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:
2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.
3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.
Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).
Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:
Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.
Рис. 6.9. Решение системы уравнений
В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Построение параболы
Построение окружности, проходящей через три заданные точки
Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Окружность задается уравнением
где x0,y0 — координаты центра окружности;
R — радиус окружности.
2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.
Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).
Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.
Рис. 6.11. Решение системы
В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим:
Рис. 6.12. Построение окружности