Пособие MathCAD (стр. 5 из 5)
Пример. Нахождение экстремумов (минимумов/максимумов) функции
.Сначала построим график функции (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Построение графика функции
Определим по графику начальные приближения значений х, соответствующих локальным экстремумам функции f(x). Найдем эти экстремумы, решив уравнение
. Для решения используем блок Given – Find (рис. 6.2.). 
Рис. 6.2. Нахождение локальных экстремумов
Определим вид экстремумов первым способом, исследуя изменение знака производной в окрестности найденных значений (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Определение вида экстремума
Из таблицы значений производной и из графика видно, что знак производной в окрестности точки x1 меняется с плюса на минус, поэтому в этой точке функция достигает максимума. А в окрестности точки x2 знак производной поменялся с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция достигает минимума.
Определим вид экстремумов вторым способом, вычисляя знак второй производной (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Определение вида экстремума с помощью второй производной
Видно, что в точке x1 вторая производная меньше нуля, значит, точка х1 соответствует максимуму функции. А в точке x2 вторая производная больше нуля, значит, точка х2 соответствует минимуму функции.
8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), отрезком [a,b] на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b, a < b, определяется по формуле:
.Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0.
Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0
Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f1(x) и f2(x)и прямыми х = а и х = b, вычисляется по формуле:
| ! |
Внимание. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.
Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями
и 
. Решение представлено на рисунке 6.6.1. Строим график функций.
2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.
3. Найденные значения x подставляем в формулу
как пределы интегрирования. 
8.3 Построение кривых по заданным точкам
Построение прямой, проходящей через две заданные точки
Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:
1. Прямая задается уравнением y = ax + b,
где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.
Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:
2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.
Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).
Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:
Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.
Рис. 6.7.Решение системы
В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Построение прямой
Построение параболы, проходящей через три заданные точки
Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:
1. Парабола задается уравнением
y = ax2 + bх + с, где
а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.
Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:
.2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.
3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.
Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).
Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:
Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.
Рис. 6.9. Решение системы уравнений
В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Построение параболы
Построение окружности, проходящей через три заданные точки
Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. Окружность задается уравнением
,где x0,y0 — координаты центра окружности;
R — радиус окружности.
2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
.Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.
Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).
Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:
Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.
Рис. 6.11. Решение системы
В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим:
. Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12). 
Рис. 6.12. Построение окружности