Пособие MathCAD (стр. 4 из 5)

– написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

find(x)=

В результате после знака равно выведется найденный корень.

Если существует несколько корней, то их можно найти, меняя начальное приближение х0 на близкое к искомому корню.

Пример. Решение уравнения

с помощью функции find представлено на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Решение уравнения с помощью функции find

Иногда возникает необходимость отметить на графике какие-либо точки (например, точки пересечения функции с осью Ox). Для этого необходимо:

· указать значение x данной точки (по оси Ох) и значение функции в этой точке (по оси Оy);

· дважды щелкнуть по графику и в окне форматирования во вкладке Traces для соответствующей линии выбрать тип графика — points, толщину линии — 2 или 3.

Пример. На графике отмечена точка пересечения функции

с осью Ох. Координата х этой точки была найдена в предыдущем примере: х = 2.742 (корень уравнения

) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. График функции

с отмеченной точкой пересечения

В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace2 изменены: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный.

7. Решение систем уравнений

7.1 Решение систем линейных уравнений

Систему линейных уравнений можно решить матричным методом (или через обратную матрицу или используя функцию lsolve(A,B)) и с использованием двух функций Find и функции Minerr.

Матричный метод

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы уравнений матричным методом представлено на рисунке 4.1.

Рис. 4.1. Решение системы линейных уравнений матричным методом

Использование функции lsolve(A,B)

Lsolve(A,B) — это встроенная функция, которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений

при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример. Дана система уравнений:

.

Способ решения данной системы с использованием функции lsolve(A,B) приведен на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Решение системы линейных уравнений с использованием функции lsolve

Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. Часто за них принимают столбец свободных членов.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given – Find, необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно(=);

4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Пример. Дана система уравнений:

.

Решение данной системы с помощью вычислительного блока Given – Find приведено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Решение системы линейных уравнений с помощью функции Find

Приближенное решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с помощью функцию Minerr аналогично решению с помощью функции Find (используется тот же алгоритм), только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке.

Общие рекомендации по решению уравнений и систем уравнений

Ниже перечислены некоторые рекомендации, которые следует выполнять, если MathCAD не может самостоятельно найти решение.

· Можно подобрать другое начальное приближение.

· Можно увеличить или уменьшить точность расчетов. Для этого в меню выбрать Math ► Options (Математика – Опции), вкладка Built-In Variables (Встроенные переменные). В открывшейся вкладке необходимо уменьшить допустимую погрешность вычислений (Convergence Tolerance (TOL)). По умолчанию TOL = 0.001.

Внимание. При матричном методе решения необходимо переставить коэффициенты согласно возрастанию неизвестных х1, х2, х3, х4.

7.2 Решение систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений в MathCAD решаются с помощью вычислительного блока Given – Find.

Конструкция Given – Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Для решения системы уравнений с помощью блока Given – Find необходимо:

1) задать начальные приближения для всех переменных;

2) ввести служебное слово Given;

3) записать систему уравнений, используя знак жирное равно(=);

4) написать функцию Find, перечислив неизвестные переменные в качестве параметров функции.

В результате расчетов выведется вектор решения системы.

Если система имеет несколько решений, алгоритм следует повторить с другими начальными приближениями.

Примечание. Если решается система из двух уравнений с двумя неизвестными, перед решением желательно построить графики функций, чтобы проверить, есть ли корни у системы (пересекаются ли графики заданных функций), и если есть, то сколько. Начальное приближение можно выбрать по графику поближе к точке пересечения.

Пример. Дана система уравнений

.

Перед решением системы построим графики функций: параболы (первое уравнение) и прямой (второе уравнение). Построение графика прямой и параболы в одной системе координат приведено на рисунке 4.5:

Рис. 4.5. Построение графика двух функций в одной системе координат

Прямая и парабола пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения. По графику выбираем начальные приближения неизвестных x и y для каждого решения. Нахождение корней системы уравнений представлено на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Нахождение корней системы нелинейных уравнений

Для того чтобы отметить на графике точки пересечения параболы и прямой, координаты точек, найденные при решении системы, введем по оси Ох (значения х) и по оси Оу (значения у) через запятую. В окне форматирования графика во вкладке Traces для trace3 и trace4 изменим: тип графика — points, толщина линии — 3, цвет — черный (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графики функций с отмеченными точками пересечения

8. Примеры использования основных возможностей MathCAD для решения некоторых математических задач

В данном разделе приведены примеры решения задач, для решения которых необходимо решить уравнение или систему уравнений.

8.1 Нахождение локальных экстремумов функций

Необходимое условие экстремума (максимума и/или минимума) непрерывной функции формулируется так: экстремумы могут иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю, или не существует (в частности, обращается в бесконечность). Для нахождения экстремумов непрерывной функции сначала находят точки, удовлетворяющие необходимому условию, то есть находят все действительные корни уравнения

.

Если построен график функции, то можно сразу увидеть — максимум или минимум достигается в данной точке х. Если графика нет, то каждый из найденных корней исследуют одним из способов.

1-й способ. Сравнение знаков производной. Определяют знак производной

в окрестности точки (в точках, отстоящих от экстремума функции по разные стороны на небольших расстояниях). Если знак производной при этом меняется от «+» к «–», то в данной точке функция имеет максимум. Если знак меняется от «–» к «+» , то в данной точке функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то экстремумов не существует.

2-й способ. Вычисление второй производной. В этом случае вычисляется вторая производная

в точке экстремума. Если она меньше нуля, то в данной точке функция имеет максимум, если она больше нуля, то минимум.