Моделирование системы заданной конфигурации (стр. 5 из 7)

Из исходной ССМ убираем:

- узел b₇ и связанные с ним альтернативные пути (маршруты) и соответствующие приемники b⁽¹⁾₉ и b⁽²⁾₉, оставляя тем самым только основные маршруты с известными вероятностями их прохождения;

- убираем узел памяти b₅ и b₆ соответственно связанные с ним узлыb_5,1 , b_6,2.

Полученный результат представлен на рисунке 4.1, только для одного из потоков, поскольку маршруты перемещения заявок оказываются одинаковыми для 1-го и 2-го потоков.

Рисунок 4.1- Сеть МО (для 1-го потока)

Для этого для каждого многоканального узла j с канальностью (Kj) и для каждого потока i (который обслуживается в этом узле) пересчитаем исходные трудоемкости запросов (средние значения длительности обслуживания в канале t⁽ⁱ⁾_j) и получим новые значения t*⁽ⁱ⁾_jпо формуле:

t *⁽ⁱ⁾_j= t⁽ⁱ⁾_j/ Kj .

Здесь многоканальным является узел b₁ (c K₁ = 4) и b₃ (c K₃ = 2). Через этот узел проходят заявки 1-го и 2-го типов . Заменим его эквивалентным одноканальным узлом b*₁ (c K₁ = 1).

Тогда для первого потока

t *⁽¹⁾_{1 =} t⁽¹⁾₁ / K₁ = 296 / 4 = 74

Для второго потока

t *⁽²⁾_{1 =} t⁽²⁾₁ / K₁ = 296 / 4 = 74 .

Заменим все потоки заявок одним потоком с усредненными параметрами.

Для рассматриваемой модели:

j =1 или 2;

Q = {1, 2};

λ₀ ⁽¹⁾ = 0,004; t₀ ⁽²⁾=240;

p⁽¹⁾ = 0,5; p⁽²⁾=0,5;

t*⁽¹⁾₁ = 74;t*⁽²⁾₁ = 74;

t*⁽¹⁾₂ =36;t*⁽²⁾₂ = 36;

t ⁽¹⁾₃ =52;t ⁽²⁾₃ = 52

m*_t= 240.

При этом эквивалентное среднее значение длительности обслуживания для первого узла b*₁

t*_{1 =} p⁽¹⁾ *t*⁽¹⁾_{1 +} p⁽²⁾ _* t*⁽²⁾₁ = 74.

Для узла b*₂

t*_{2 =} p⁽¹⁾ *t *⁽¹⁾_{2 +} p⁽²⁾ _* t *⁽²⁾₂ = 36.

Для узла b₃

t_{3 =} p⁽¹⁾ *t⁽¹⁾_{3 +} p⁽²⁾ _* t⁽²⁾₃ = 52.

Для рассматриваемой сети МО получим следующие значения параметров:

1. Для закона поступления заявок усредненного потока параметр экспоненциального распределения m_t= m*_t= 240 , скорость их поступления λ = 0,004.

2. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₁ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла)m_t= t*₁ = 74.

3. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₂ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла)m_t= t*₂ = 36.

4. Для закона распределения длительности обслуживания заявок в устройстве b₃ параметр экспоненциального распределения ₍средняя длительность обслуживания в канале узла)m_t= t*₃ = 52.

В результате проведенных упрощений получена модель в виде разомкнутой, однородной, линейной, экспоненциальной сети МО с одноканальными устройствами.

Представим внешнюю среду одним узлом b₀ (вместо b₀ и b₄) и в качестве источника и в качестве приемника. Запросы приходят из внешней среды и возвращаются в нее.

Тогда сеть состоит из n = 5 узлов, где N = 3 устройств.

Состав узлов сети - b₀, b₁, b₂, b_3, b₅.

Опишем матрицу вероятностей переходов P, при этом будем учитывать все узлы, кроме маршрутных (таблица 4.1)

Таблица 4.1- Матрицу вероятностей переходов

b0	b*1	b*2	b*3
b0	0	1	0	0
b*1	0	0	1	0
b*2	0	0	0.5	0,5
b*3	1	0	0	0

Структура сети МО с указанием исходных параметров (интенсивностей потоков и параметров устройств) представлена на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2- АМ (сеть МО)

В таблице 4.2 представлены параметры узлов сети МО.

Таблица 4.2- Параметры узлов сети МО

Узел	Параметр	Описание	Значение
b0	z0,1	– тип узла	источник
z0,2	- назначение	генерация потока заявок
z0,3	- закон распределения времени τ между заявками в потоке fτ	случайный
z0,4	- тип закона	экспоненциальный
z0,5	- среднее время τ - mτ	240
Примечание: интенсивность поступления заявок λ = 1 / mτ = 0,004
b*1	z1,1	– тип узла	устройство
z1,1	– канальность K1	1
z1,3	– быстродействие канала B1 [заявка/1 времени]	1
z1,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b*2	z2,1	– тип узла	устройство
z2,2	– канальность K2	1
z2,3	– быстродействие канала B3	1
z2,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b3	z3,1	– тип узла	устройство
z3,2	– канальность K3	1
z3,3	– быстродействие канала B4	1
z3,4	– дисциплина обслуживания	FIFO
b5	Z5,1	- тип узла	маршрутный
Z5,2	- назначение	вероятностный выбор маршрута
Z5,3	- вектор вероятностей переходов	0,5; 0,5

Параметры потока заявок приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3- Параметры потока заявок сети МО

Параметр	Описание	Значение
h0,1	закон распределения времени τ между заявками в потоке f(1)τ	случайный
h0,2	тип закона	экспоненциальный
h0,3	среднее время mτ	240
h1,1	закон распределения ft,1 времени t обслуживания в канале b*1	случайный
h1,2	тип закона	экспоненциальный
h1,3	среднее время обслуживания в канале b*1 mτ	74
h2,1	закон распределения ft,2 времени t обслуживания в канале b*2	случайный
h2,2	тип закона	экспоненциальный
h2,3	среднее время mτ обслуживания в канале b*2	36
h3,1	закон распределения ft,3 времени t обслуживания в канале b3	случайный
h3,2	тип закона	экспоненциальный
h3,3	среднее время mτ обслуживания в канале b3	52

Состав искомых характеристик представлен ниже. Это узловые характеристики:

- для узла b₁ - l₁, m₁, ρ₁, ω₁, u₁;

- для узла b₂ – l₂, m₂, ρ₂, ω₂, u₂.

- для узла b₃ – l₃, m₃, ρ₃, ω₃, u₃;

Системные характеристики:

L = l₁ + l₂+ l₃;

M = m₁ + m₂+ m₃;

U = α_1* u₁+ α_2*u₂+ α_3*u_3;

W = α_1* ω₁+ α_2* ω₂+ α_3* ω₃ .

1. Опишем возможные состояния сети. Здесь это вектор

, где M_i– число заявок в узле b_i.

Вектор

, где M₁ – число заявок в узле b₁ (любое), M₂ – число заявок в узле b₂ (любое), M₃ – число заявок в узле b₃ (любое).

2. Вычислим неизвестные интенсивности потоков λ_i на входах в устройства. Для этого построим и решим систему из N линейных уравнений, используя свойство линейности, выражаемое для каждого из устройств i = 1, 2, …, N как

.

Здесь N = 3 и искомые величины: λ_1, λ₃ и λ_4. Система уравнений выглядит как

λ₁ =λ_{0 *} p_0,1 + λ_{1 *} p_1,1 + λ_{2 *} p_2,1+ λ_{3 *} p_3,1 ;

λ₂ =λ_{0 *} p_0,4 + λ_{1 *} p_1,4 + λ_{2 *} p_2,4+ λ_{3 *} p_3,4 .

λ₃ =λ_{0 *} p_0,3 + λ_{1 *} p_1,3 + λ_{2 *} p_2,3+ λ_{3 *} p_{3,3 ;}

А после подстановки значений p_i,jиз матрицы P

λ₁ =λ_{0 *} 0+ λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 1+ λ_{3 *} 0;

λ₂ =λ_{0 *} 0+ λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 0.5+ λ_{3 *} 0.5 _;

λ₃ =λ_{0 *} 1+ λ_{1 *} 0+ λ_{2 *} 0+ λ_{3 *} 0.

Соответственно

λ₁ = 0,004;

λ₂ = 0,008;

λ₃ = 0,004.

3. Рассчитываем коэффициенты передач (среднее число посещений заявкой каждого устройства) α_k=λ_k/ λ₀ .

α₁ =λ₁ / λ₀ = 1;

α₂ =λ₂ / λ₀ = 2;

α₃ =λ₃ / λ₀ = 1.

4. Рассчитываем коэффициенты загрузок устройств ρ_k=λ_{k *}t_k.

ρ₁ =λ_{1 *}t₁ = 0,296;

ρ₂ =λ_{2 *}t₂ = 0,288;

ρ₃ =λ_{3 *}t₃ = 0,208.

Так как коэффициенты загрузок меньше 1, то сеть работает в стационарном режиме и можно продолжать расчеты.