Сингулярное разложение в пакете Mathcad 14.0 реализуется с помощью функции svd() по формуле (6), формируется обобщенная матрица AS, включающая левые и правые сингулярные вектора. Левые и правые сингулярные вектора разделяются по формулам
Диагональная матрица ds сингулярных чисел определена по формуле (5). Для контроля правильности выполненных вычислений определяется равенство
Для последующих расчетов определяются скалярные значения собственных чисел по формулам с использованием функции submatrix(). Например, для
для
Левые сингулярные вектора определяются из матрицы U аналогично с использованием функции submatrix():
Правые сингулярные вектора определяются в пакете Mathcad по формуле
Элементарные матрицы Xi определены по формуле
Таблица 5.1 – Исходные данные для исследования временного ряда
Составляющие исходного ряда F(x)j | Потенциалы составляющих исходного ряда | |||||
F(x)j | Тренд ax + b | Гармоника с·sinx | Шум rnd | φT | φS | φN |
F(x)0 | 0.1+0.055x | 2sin(x) | rnd | 53.965 | 54.29958803 | 55.72192 |
F(x)1 | 0.1+0.055x | 2sin(x) | 10rnd | 53.965 | 54.29958803 | 557.2192 |
F(x)2 | 0.1+0.055x | 20sin(x) | rnd | 53.965 | 542.9958803 | 55.72192 |
F(x)3 | 0.1+0.055x | 20sin(x) | 10rnd | 53.965 | 542.9958803 | 557.2192 |
F(x)4 | 10(0.1+0.055x) | 2sin(x) | rnd | 539.65 | 54.29958803 | 55.72192 |
F(x)5 | 10(0.1+0.055x) | 2sin(x) | 10rnd | 539.65 | 54.29958803 | 557.2192 |
F(x)6 | 10(0.1+0.055x) | 20sin(x) | rnd | 539.65 | 542.9958803 | 55.72192 |
F(x)7 | 10(0.1+0.055x) | 20sin(x) | 10rnd | 539.65 | 542.9958803 | 557.2192 |
Таблица 5.2 – Собственные числа при сингулярном спектральном анализе временных рядов F(x)j
λi | F(x)0 | F(x)1 | F(x)2 | F(x)3 | F(x)4 | F(x)5 | F(x)6 | F(x)7 |
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ9 λ10 λ11 λ12 λ13 λ14 λ15 λ16 λ17 λ18 λ19 λ20 λ21 λ22 | 58.997 24.184 23.729 5.404 5.331 4.454 4.112 4.01 3.807 3.768 3.482 3.422 3.086 2.903 2.373 2.24 1.895 1.859 1.566 1.499 1.361 0.228 | 330.15 54.463 53.732 46.596 46.365 43.26 40.101 38.279 37.603 35.482 34.728 34.278 29.542 28.412 23.721 22.454 18.883 18.838 15.537 15.097 13.484 2.384 | 223.425 222.2 57.172 5.416 5.35 4.443 4.102 4.01 3.798 3.757 3.488 3.426 3.089 2.909 2.382 2.24 1.877 1.858 1.56 1.494 1.357 0.25 | 341.176 241.956 231.45 54.212 53.4 44.113 40.123 38.356 37.702 35.491 34.692 34.329 30.376 29.281 23.91 22.49 18.965 18.889 15.569 15.08 13.554 2.392 | 324.008 24.177 23.928 20.601 5.364 5.315 4.408 4 3.821 3.721 3.501 3.415 3.116 2.83 2.395 2.245 1.922 1.891 1.553 1.508 1.358 0.226 | 584.944 54.45 53.799 46.612 46.361 43.463 41.141 40.081 37.987 37.556 34.953 34.267 29.906 28.273 23.596 22.454 18.847 18.601 15.643 15.088 13.586 2.354 | 333.228 222.05 212.455 20.592 5.378 5.335 4.408 4.009 3.819 3.707 3.498 3.408 3.118 2.839 2.407 2.253 1.93 1.896 1.563 1.504 1.361 0.244 | 590.12 241.876 237.353 54.179 53.45 44.394 41.084 40.101 37.999 37.62 34.924 34.289 30.824 29.121 23.802 22.481 18.879 18.641 15.694 15.082 13.672 2.364 |
5.2 Экспериментальная часть (тренд)
Для определения групп элементарных матриц Xi построены лепестковые диаграммы для векторов Vi в табличном процессоре MS Excel 2003 (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 Лепестковая диаграмма
Где ряд 1 - тренд, ряд 2 и ряд 3 - гармоники, ряд 4-22 – шум.
Тогда группа X1 элементарных матриц соответствует тренду ряда:
| |
Рисунок 5.2 – Распределение абсолютной ошибки восстановления трендовой составляющей | Рисунок 5.3 – Распределение суммы квадратов отклонений трендовой составляющей |
5.3 Экспериментальная часть (гармонический ряд)
Группа X2 включает в себя все
| |
Рисунок 5.4 – Распределение абсолютной ошибки восстановления гармонической составляющей | Рисунок 5.5 – Распределение суммы квадратов отклонений гармонической составляющей |
5.4 Экспериментальная часть (рандом)
Группа X3 включает в себя все
| |
Рисунок 5.6 – Распределение абсолютной ошибки восстановления “шумовой” составляющей | Рисунок 5.7 – Распределение суммы квадратов отклонений “шумовой” составляющей |
5.5 Результаты и их обсуждение
В ходе проведенных исследований временных детерминированных рядов, образованных функциями вида F(x) = ax + bsinx + c, построена таблица 5.3.
Таблица 5.3. – Результаты исследования временных рядов
Временной ряд, заданный функцией | Трендовая составляющая | Гармоническая составляющая | |||
Vтренд | Vгарм | ||||
1)y=0.1+0.055x+2sin(x)+rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
2)y=0.1+0.055x+2sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
3)y=0.1+0.055x+20sin(x)+rnd | V2 | - | V0 | V1 | - |
4)y=0.1+0.055x+20sin(x)+10rnd | - | - | V0 | V1 | V2 |
5)y=10(0.1+0.055x)+2sin(x)+rnd | V0 | V3 | V1 | V2 | - |
6)y=10(0.1+0.055x)+2sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
7)y=10(0.1+0.055x)+20sin(x)+rnd | V0 | V3 | V1 | V2 | - |
8)y=10(0.1+0.055x)+20sin(x)+10rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
Особенность группировки составляющих ряда определяется перестановками сингулярных векторов, ответственных за трендовую и гармоническую составляющую.