Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному (стр. 7 из 8)
Сингулярное разложение в пакете Mathcad 14.0 реализуется с помощью функции svd() по формуле (6), формируется обобщенная матрица AS, включающая левые и правые сингулярные вектора. Левые и правые сингулярные вектора разделяются по формулам
и 
соответственно.Диагональная матрица ds сингулярных чисел определена по формуле (5). Для контроля правильности выполненных вычислений определяется равенство
. (9)Для последующих расчетов определяются скалярные значения собственных чисел по формулам с использованием функции submatrix(). Например, для
(обозначение ds0 в пакете Mathcad) 
, (10)для
(обозначение ds1 в пакете Mathcad) 
и т. д. (11)Левые сингулярные вектора определяются из матрицы U аналогично с использованием функции submatrix():
, (12) 
и т. д. (13)Правые сингулярные вектора определяются в пакете Mathcad по формуле
. (14)Элементарные матрицы Xi определены по формуле
. (15)Таблица 5.1 – Исходные данные для исследования временного ряда
| Составляющие исходного ряда F(x)j | Потенциалы составляющих исходного ряда | |||||
| F(x)j | Тренд ax + b | Гармоника с·sinx | Шум rnd | φT | φS | φN |
| F(x)0 | 0.1+0.055x | 2sin(x) | rnd | 53.965 | 54.29958803 | 55.72192 |
| F(x)1 | 0.1+0.055x | 2sin(x) | 10rnd | 53.965 | 54.29958803 | 557.2192 |
| F(x)2 | 0.1+0.055x | 20sin(x) | rnd | 53.965 | 542.9958803 | 55.72192 |
| F(x)3 | 0.1+0.055x | 20sin(x) | 10rnd | 53.965 | 542.9958803 | 557.2192 |
| F(x)4 | 10(0.1+0.055x) | 2sin(x) | rnd | 539.65 | 54.29958803 | 55.72192 |
| F(x)5 | 10(0.1+0.055x) | 2sin(x) | 10rnd | 539.65 | 54.29958803 | 557.2192 |
| F(x)6 | 10(0.1+0.055x) | 20sin(x) | rnd | 539.65 | 542.9958803 | 55.72192 |
| F(x)7 | 10(0.1+0.055x) | 20sin(x) | 10rnd | 539.65 | 542.9958803 | 557.2192 |
Таблица 5.2 – Собственные числа при сингулярном спектральном анализе временных рядов F(x)j
| λi | F(x)0 | F(x)1 | F(x)2 | F(x)3 | F(x)4 | F(x)5 | F(x)6 | F(x)7 |
| λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ9 λ10 λ11 λ12 λ13 λ14 λ15 λ16 λ17 λ18 λ19 λ20 λ21 λ22 | 58.997 24.184 23.729 5.404 5.331 4.454 4.112 4.01 3.807 3.768 3.482 3.422 3.086 2.903 2.373 2.24 1.895 1.859 1.566 1.499 1.361 0.228 | 330.15 54.463 53.732 46.596 46.365 43.26 40.101 38.279 37.603 35.482 34.728 34.278 29.542 28.412 23.721 22.454 18.883 18.838 15.537 15.097 13.484 2.384 | 223.425 222.2 57.172 5.416 5.35 4.443 4.102 4.01 3.798 3.757 3.488 3.426 3.089 2.909 2.382 2.24 1.877 1.858 1.56 1.494 1.357 0.25 | 341.176 241.956 231.45 54.212 53.4 44.113 40.123 38.356 37.702 35.491 34.692 34.329 30.376 29.281 23.91 22.49 18.965 18.889 15.569 15.08 13.554 2.392 | 324.008 24.177 23.928 20.601 5.364 5.315 4.408 4 3.821 3.721 3.501 3.415 3.116 2.83 2.395 2.245 1.922 1.891 1.553 1.508 1.358 0.226 | 584.944 54.45 53.799 46.612 46.361 43.463 41.141 40.081 37.987 37.556 34.953 34.267 29.906 28.273 23.596 22.454 18.847 18.601 15.643 15.088 13.586 2.354 | 333.228 222.05 212.455 20.592 5.378 5.335 4.408 4.009 3.819 3.707 3.498 3.408 3.118 2.839 2.407 2.253 1.93 1.896 1.563 1.504 1.361 0.244 | 590.12 241.876 237.353 54.179 53.45 44.394 41.084 40.101 37.999 37.62 34.924 34.289 30.824 29.121 23.802 22.481 18.879 18.641 15.694 15.082 13.672 2.364 |
5.2 Экспериментальная часть (тренд)
Для определения групп элементарных матриц Xi построены лепестковые диаграммы для векторов Vi в табличном процессоре MS Excel 2003 (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 Лепестковая диаграмма
Где ряд 1 - тренд, ряд 2 и ряд 3 - гармоники, ряд 4-22 – шум.
Тогда группа X1 элементарных матриц соответствует тренду ряда:
. Группа 
соответствует гармонической составляющей ряда. Группа 
соответствует шумовой составляющей ряда.  |  |
| Рисунок 5.2 – Распределение абсолютной ошибки восстановления трендовой составляющей | Рисунок 5.3 – Распределение суммы квадратов отклонений трендовой составляющей |
5.3 Экспериментальная часть (гармонический ряд)
Группа X2 включает в себя все
вошедшие в гармоническую составляющую: 
 |  |
| Рисунок 5.4 – Распределение абсолютной ошибки восстановления гармонической составляющей | Рисунок 5.5 – Распределение суммы квадратов отклонений гармонической составляющей |
5.4 Экспериментальная часть (рандом)
Группа X3 включает в себя все
не вошедшие ни в тренд, ни в гармоническую составляющую: 
 |  |
| Рисунок 5.6 – Распределение абсолютной ошибки восстановления “шумовой” составляющей | Рисунок 5.7 – Распределение суммы квадратов отклонений “шумовой” составляющей |
5.5 Результаты и их обсуждение
В ходе проведенных исследований временных детерминированных рядов, образованных функциями вида F(x) = ax + bsinx + c, построена таблица 5.3.
Таблица 5.3. – Результаты исследования временных рядов
Временной ряд, заданный функцией  | Трендовая составляющая | Гармоническая составляющая | |||
| Vтренд | Vгарм | ||||
| 1)y=0.1+0.055x+2sin(x)+rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
| 2)y=0.1+0.055x+2sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
| 3)y=0.1+0.055x+20sin(x)+rnd | V2 | - | V0 | V1 | - |
| 4)y=0.1+0.055x+20sin(x)+10rnd | - | - | V0 | V1 | V2 |
| 5)y=10(0.1+0.055x)+2sin(x)+rnd | V0 | V3 | V1 | V2 | - |
| 6)y=10(0.1+0.055x)+2sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
| 7)y=10(0.1+0.055x)+20sin(x)+rnd | V0 | V3 | V1 | V2 | - |
| 8)y=10(0.1+0.055x)+20sin(x)+10rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
Особенность группировки составляющих ряда определяется перестановками сингулярных векторов, ответственных за трендовую и гармоническую составляющую.