Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному (стр. 6 из 8)
Сформированная матрица A является ганкелевой размером 22×22. Следует отметить, что размеры матрицы при ручном вводе ограничены возможностями Mathcad и не должны превышать 600 позиций. Сингулярные числа при сингулярном разложении траекторной матрицы A с применением функции svds() по формуле (4) принимают следующие значения: λ1= 92.196; λ2=33.886; λ3=33.794. Остальные значения λ4,…,λ22 представляют убывающую последовательность: 19.575,…, 1.732.
Сингулярное разложение в пакете Mathcad 14.0 реализуется с помощью функции svd() по формуле (6), формируется обобщенная матрица AS, включающая левые и правые сингулярные вектора. Левые и правые сингулярные вектора разделяются по формулам
и 
соответственно.Диагональная матрица ds сингулярных чисел определена по формуле (5). Для контроля правильности выполненных вычислений определяется равенство
. (9)Для последующих расчетов определяются скалярные значения собственных чисел по формулам с использованием функции submatrix(). Например, для
(обозначение ds0 в пакете Mathcad) 
, (10)для
(обозначение ds1 в пакете Mathcad) 
и т. д. (11)Левые сингулярные вектора определяются из матрицы U аналогично с использованием функции submatrix():
, (12) 
и т. д. (13)Правые сингулярные вектора определяются в пакете Mathcad по формуле
. (14)Элементарные матрицы Xi определены по формуле
. (15)Таблица 4.1 – Исходные данные для исследования временного ряда
| Составляющие исходного ряда F(x)j | Потенциалы составляющих исходного ряда | |||||
| F(x)j | Тренд ax + b | Гармоника с·sinx | Шум rnd | φT | φS | φN |
| F(x)0 | 0.1+0.09x | 3sin(x) | rnd | 85.57 | 81.44938204 | 86.94553 |
| F(x)1 | 0.1+0.09x | 3sin(x) | 10rnd | 85.57 | 81.44938204 | 869.4553 |
| F(x)2 | 0.1+0.09x | 30sin(x) | rnd | 85.57 | 814.4938204 | 86.94553 |
| F(x)3 | 0.1+0.09x | 30sin(x) | 10rnd | 85.57 | 814.4938204 | 869.4553 |
| F(x)4 | 10(0.1+0.09x) | 3sin(x) | rnd | 855.7 | 81.44938204 | 86.94553 |
| F(x)5 | 10(0.1+0.09x) | 3sin(x) | 10rnd | 855.7 | 81.44938204 | 869.4553 |
| F(x)6 | 10(0.1+0.09x) | 30sin(x) | rnd | 855.7 | 814.4938204 | 86.94553 |
| F(x)7 | 10(0.1+0.09x) | 30sin(x) | 10rnd | 855.7 | 814.4938204 | 869.4553 |
Таблица 4.2 – Собственные числа при сингулярном спектральном анализе временных рядов F(x)j
| λi | F(x)0 | F(x)1 | F(x)2 | F(x)3 | F(x)4 | F(x)5 | F(x)6 | F(x)7 |
| λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ9 λ10 λ11 λ12 λ13 λ14 λ15 λ16 λ17 λ18 λ19 λ20 λ21 λ22 | 92.196 33.886 33.794 19.575 15.968 14.193 13.288 12.5 11.969 10.978 10.875 10.004 9.718 8.824 8.702 7.372 6.554 6.406 5.958 1.974 1.894 1.732 | 515.747 195.792 160.277 143.162 132.928 125.87 123.748 114.367 111.448 109.846 107.852 100.137 97.35 86.226 81.9 74.488 67.182 63.022 61.566 21.719 18.66 13.31 | 331.554 328.913 89.658 19.577 15.956 14.173 13.29 12.512 11.932 10.976 10.885 9.997 9.739 8.82 8.736 7.31 6.483 6.394 5.876 2.117 2.021 1.751 | 525.525 337.9 335.737 195.704 159.631 141.406 132.878 124.274 119.619 109.785 108.358 99.928 97.352 88.46 83.315 73.455 65.653 63.705 59.799 19.779 18.947 17.205 | 513.814 35.083 34.027 33.055 19.459 15.963 13.826 13.273 12.46 11.955 10.963 10.707 9.988 9.687 8.691 7.509 6.595 6.452 5.598 3.433 1.84 1.81 | 915.716 195.886 160.303 143.794 132.949 126.517 123.756 114.365 111.423 109.833 108.326 100.173 97.316 86.543 86.049 74.529 66.855 63.198 61.422 21.692 18.624 13.185 | 525.945 328.695 316.756 34.273 19.463 15.952 13.819 13.275 12.467 11.916 10.962 10.716 9.98 9.702 8.706 7.441 6.627 6.421 5.507 3.711 1.887 1.82 | 921.985 338.831 337.916 195.808 159.66 141.892 132.892 125.017 119.647 109.769 108.785 99.985 97.209 88.221 87.083 73.675 65.529 64.064 59.584 19.762 18.949 17.304 |
4.2 Экспериментальная часть (тренд)
Для определения групп элементарных матриц Xi построены лепестковые диаграммы для векторов Vi в табличном процессоре MS Excel 2003 (рисунок 4.1).
Рисунок 4.1 Лепестковая диаграмма
Где ряд 1 - тренд, ряд 2 и ряд 3 - гармоники, ряд 4-22 – шум.
Тогда группа X1 элементарных матриц соответствует тренду ряда:
. Группа 
соответствует гармонической составляющей ряда. Группа 
соответствует шумовой составляющей ряда.  |  |
| Рисунок 4.2 – Распределение абсолютной ошибки восстановления трендовой составляющей | Рисунок 4.3 – Распределение суммы квадратов отклонений трендовой составляющей |
4.3 Экспериментальная часть (гармонический ряд)
Группа X2 включает в себя все
вошедшие в гармоническую составляющую: 
 |  |
| Рисунок 4.4 – Распределение абсолютной ошибки восстановления гармонической составляющей | Рисунок 4.5 – Распределение суммы квадратов отклонений гармонической составляющей |
4.4 Экспериментальная часть (рандом)
Группа X3 включает в себя все
не вошедшие ни в тренд, ни в гармоническую составляющую: 
 |  |
| Рисунок 4.6 – Распределение абсолютной ошибки восстановления “шумовой” составляющей | Рисунок 4.7 – Распределение суммы квадратов отклонений “шумовой” составляющей |
4.5 Результаты и их обсуждение
В ходе проведенных исследований временных детерминированных рядов, образованных функциями вида F(x) = ax + bsinx + c, построена таблица 4.3.
Таблица 4.3. – Результаты исследования временных рядов
Временной ряд, заданный функцией  | Трендовая составляющая | Гармоническая составляющая | |||
| Vтренд | Vгарм | ||||
| 1) y=0.1+0.09x+3*sin(x)+rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
| 2) y=0.1+0.09x+3*sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
| 3) y=0.1+0.09x+30*sin(x)+rnd | - | - | V0 | V1 | V2 |
| 4) y=0.1+0.09x+30*sin(x)+10rnd | - | - | V0 | V1 | V2 |
| 5)y=10(0.1+0.09x)+3*sin(x)+rnd | V0 | - | V1 | V2 | V3 |
| 6)y=10(0.1+0.09x)+3*sin(x)+10rnd | V0 | - | - | - | - |
| 7)y=10(0.1+0.09x)+30*sin(x)+rnd | V3 | - | V0 | V1 | V2 |
| 8)y=10(0.1+0.09x)+30*sin(x)+10rnd | V0 | - | V1 | V2 | - |
Особенность группировки составляющих ряда определяется перестановками сингулярных векторов, ответственных за трендовую и гармоническую составляющую.
5. Исследование временных рядов с шумом заданным Rayleigh законом распределения
5.1 Постановка эксперимента
Для проведения исследований выбрана функция
+rnd, где 
– линейная функция, y1(x)=0.1+0.055x; 
– гармоническая функция, y2(x)=2sin(x); rnd – шум. Переменная 
принимает значения от 0 до 42 с шагом, равным единице. Таким образом, длина N ряда 
, равна 43. При этом длина окна 
, число L-мерных векторов 
. Отдельно на рабочем листе MS Excel 2003 рассчитаны значения функций 
, , rnd и 
. При этом ряду 
линейной функции, или тренда, соответствуют значения Gy1={gy10,gy11,…,gy142}={ 0.1, 0.155,..,2.41}. Ряд 
гармонической составляющей – Gy2={gy20,gy21,…,gy242}={ 0, 1.68,..,-1.83}, Rnd={1.84, 2.87,..,0.827} и G={1.94, 4.71,..,1.4}. Элементы ряда 
копируются в траекторную матрицу A на рабочем листе Mathcad 14.0. Сформированная матрица A является ганкелевой размером 22×22. Следует отметить, что размеры матрицы при ручном вводе ограничены возможностями Mathcad и не должны превышать 600 позиций. Сингулярные числа при сингулярном разложении траекторной матрицы A с применением функции svds() по формуле (4) принимают следующие значения: λ1=58.997; λ2=24.184; λ3=23.729. Остальные значения λ4,…,λ22 представляют убывающую последовательность: 5.404,…,0.228.