Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному (стр. 4 из 8)
Причем
– собственное значение матрицы 
в том и только в том случае, когда 
. Определение функции определения означает теперь, что 
удовлетворяет полиномиальному уравнению с коэффициентом в 
, это уравнение известно как характеристическое уравнение матрицы . Многочлен 
называется характеристическим многочленом матрицы .Следует заметить, что правый собственный вектор матрицы
, соответствующий данному собственному значению 
не может быть единственным. Правые собственные векторы соответствуют в действительности с множеством всех ненулевых элементов из 
.Отметим что величина
известна как след матрицы
и обозначается через 
.Если
– собственные значения матрицы (не обязательно различные), то 
; 
. Пример. Показать, что для матрицы
собственными значениями будут
Решение:
; 
; 
; 
.Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, поэтому
; 
.Решаем систему уравнений методом Гаусса:
; 
; 
; 
; 
; 
.Найдем правые собственные вектора, соответствующие собственным числам.
.Откуда
.Пусть вектор
.Проверим
; 
или 
. 
; 
.Откуда
Пусть
.Проверим
; 
или 
= . 3.2 Содержательное описание SSA-метода
Метод SSA используется для анализа временных рядов и может быть использован на каждом из этапов эксплуатации ИМ. Он позволяет выделить ряды, которые описывают тренд первоначального ряда, гармонические колебания и те составляющие рядов, которые относят к «шуму». При этом метод не требует стационарности ряда, знания модели тренда, а также сведений о наличии в ряде периодических составляющих и их периодах. Также с помощью данного метода можно определить модель тренда и использовать это знание для дальнейшей обработки ряда уже с известной моделью тренда, что важно, например, при автоматизации определения длительности переходного процесса в ИМ.
Математической основой метода SSA является сингулярное разложение [4]. Для успешного применения метода SSA следует последовательно пройти несколько шагов.
Вложение. На этом шаге выбирается ширина окна L, от выбора которой зависят результаты применения метода SSA. Из-за того, что нет общих рекомендаций по выбору ширины окна, параметр L зависит от решаемой задачи и предварительной информации, известной о ряде. Например, для выделения тренда рекомендуется выбирать ширину окна не слишком большой. С другой стороны, для выделения гармонических колебаний рекомендуется большая ширина окна. После выбора ширины окна в соответствии с L строится траекторная матрица А ряда, которая будет являться по условию её построения ганкелевой [5].
Сингулярное разложение. Для матрицы S = A·AT находятся собственные числа λ и ортонормированные собственные вектора U. Упорядоченные по убыванию собственные числа, которые являются большими нуля, часто называются сингулярными числами, а соответствующие им собственные вектора – левыми сингулярными векторами U. После этого вычисляются вектора V, которые называются правыми сингулярными векторами, и находятся элементарные матрицы, на сумму которых раскладывается первоначальная траекторная матрица.
Группировка. На этапе группировки элементарные матрицы группируются по принципу принадлежности к тренду, гармоническим колебаниям или к шуму. Этот этап является наиболее сложным при применении метода SSA. Для нахождения тренда на диаграммах собственных векторов (по оси абсцисс откладывается порядковый номер координаты собственного вектора, по оси ординат откладывается значение координаты собственного вектора) выделяют медленно меняющиеся вектора. Сумма элементарных матриц, соответствующих этим векторам будет являться траекторной матрицей тренда ряда. После этого восстанавливают гармонические колебания ряда. Для отделения шума можно воспользоваться несколькими замечаниями: нерегулярное поведение сингулярных векторов может говорить о принадлежности их к набору, порожденному шумовой компонентой; также об этом может свидетельствовать медленное, практически без скачков, убывание собственных значений с некоторого номера.
Диагональное усреднение. Если полученные сгруппированные матрицы являются ганкелевыми, то они являются траекторными матрицами некоторого ряда, который может быть легко по ним восстановлен. Однако обычно сгруппированные матрицы редко получаются ганкелевыми, поэтому для восстановления ряда прибегают к диагональному усреднению. В соответствии с этим этапом каждый член восстановленного ряда будет являться средним арифметическим соответствующей ему побочной диагонали траекторной матрицы.
В результате проделанных шагов получается несколько рядов, один из которых является рядом, описывающим тренд первоначального ряда, другой описывает гармонические колебания, а третий – шумовые составляющие.
3.3 Методика исследования SSA-метода на основе информационных технологий
Для исследования SSA-метода применяется комплекс информационных технологий, представленный табличным процессором MS Excel, математическим пакетом Mathcad и пакетом статистической обработки данных Statistica.
Этап вложения. Для экспериментальных исследований исходный ряд
может быть задан по известным функциям либо определен результатами функционирования исследуемой системы. По известным функциям ряд формируется на рабочем листе MS Excel и затем в пакете Mathcad формируется матрица А, которая по правилам построения является ганкелевой [5]. Процедура вложения является преобразованием исходного одномерного ряда 
в последовательность 
-мерных векторов, число которых равно 
: