Арифметические основы ЦВМ (стр. 5 из 6)
M разрядов - для записи мантиссы;
Р разрядов - для записи порядка (с учетом его знака).
Местоположение запятой при этом тоже строго фиксируется: считается, что мантисса всегда представляется как число, меньшее единицы, но такое, в котором первая цифра после запятой для всех абсолютно чисел отлична от нуля (единственное исключение составляет число 0). Такая форма представления мантиссы называется нормализованной. Иначе говорят, что мантисса нормализована (приведена к виду: 1 < M <= 0,1).
Ну, а если известно, что мантисса имеет вид “0,цццц..”, то ее код в машинном слове может не содержать символов “0,”, а местоположение запятой предполагается перед старшей значащей цифрой мантиссы.
Порядок Р всегда представляется целым числом со знаком + или -. А для кодирования абсолютной величины порядка остается (Р-1) цифр.
Теперь можно рассмотреть диапазон представимых чисел.
Вначале рассмотрим пример применительно к двоичной системе счисления.
Пусть m - количество разрядов мантиссы,
р - количество разрядов порядка, включая знаковый.
Тогда максимальное по абсолютной величине число будет равно
0,1111..1 * 2**(+111..1) = (1-2**(-м))*2**(2**(р-1)-1),
m цифр (p-1) цифр
или приблизительно 2**(2**(р-1)-1),
а минимальное по абсолютной величине число
0,1000..0 * 2**(-111..1) = 2**(-2**(р-1)).
m цифр (p-1) цифр
Итак, число в форме с плавающей запятой представляется последовательностью битов без каких либо явно указанных разделителей, но функционально разбитой на три группы {(знак числа, мантисса числа, порядок числа) или (знак числа, порядок числа, мантисса числа)}.
Рассмотренная форма кодирования числа приводит к следующим последствиям:
· Диапазон чисел, представимых в форме с плавающей запятой, определяется главным образом разрядностью порядка (Р).
· Разрядность мантиссы (М) определяет точное количество значащих цифр в изображении числа.
Следовательно, большинство чисел в форме с плавающей запятой представляется приближенно и причиной этого является ограниченное число разрядов мантиссы. Величина же абсолютной погрешности при приближенном представлении числа зависит как от абсолютной величины числа, так и от разрядности мантиссы и порядка.
Рассмотрим примеры. При этом для простоты положим, что числа представляются в десятичной системе счисления, количество цифр мантиссы равно 4, количество цифр порядка - 2, знак порядка записывается как в математике, а знак числа мы не изображаем, полагая все числа положительными.
Пример 1. Пусть имеется число 12,42=0,1242*10**(+2).
В заданном формате оно представляется цепочкой символов
1 2 4 2 + 0 2
При этом
· цепочка “1 2 4 2” представляет мантиссу, т.е. в математическом смысле число 0,1242 ,
· а цепочка “+ 0 2” - порядок - целое положительное число 2.
Тогда ближайшее большее этого число может быть задано цепочкой
1 2 4 3 + 0 2
и оно равно 0,1243*10**(+2)= 12,43.
Таким образом, ближайшие числа на числовой оси, которые различимы при кодировании их в форме с плавающей запятой для данного примера различаются на 0,01 (абсолютная погрешность представления всех чисел между 12,42 и 12,43 имеет верхнюю оценку 0,01).
Пример 2. Пусть имеется число 0,001242=0,1242*10**(-2).
В заданном формате оно представляется цепочкой символов
1 2 4 2 - 0 2,
а ближайшее большее этого число представляется цепочкой
1 2 4 3 - 0 2
и равно 0,1243*10**(-2)= 0,001243.
Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 0,001242 и 0,001243 имеет верхнюю оценку 0,000001.
Пример 3. Пусть имеется число 0,1242*10**(+12).
В естественной форме записи это число 124 200 000 000, а в заданном формате оно представляется цепочкой символов
1 2 4 2 + 1 2,
а ближайшее большее этого число представляется цепочкой
1 2 4 3 + 1 2
и равно 0,1243*10**(+12)= 124 300 000 000.
Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 124 200 000 000 и 124 300 000 000 имеет верхнюю оценку 100 000 000 = 10**8.
Обратите внимание, что в последнем примере невозможно записать ни одного числа в интервале размером 10**8.
Важный вывод, который следует из анализа формы кодирования чисел с плавающей запятой и иллюстрируется в рассмотренных примерах: числа в форме с плавающей запятой, несмотря на то что, эта форма предложена для представления в ЭВМ непрерывных величин, представляются дискретным множеством на числовой оси и располагаются на ней неравномерно.
Если изобразить на (бесконечной) числовой оси области существования чисел, то можно выделить следующие области (см. рис.):
1 2 3 4 5 6 
RМаксВещ -МинВещ 0 +МинВещ +МаксВещ
· область 1: Х<-МаксВещ - ни одного значения из области нельзя представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать);
· область 2: -МаксВещ<=X<=-МинВещ - в данном интервале может быть представлено столько различных чисел, сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;
· область 3: -МинВещ<X<0 - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;
· область 4: 0<X<+МинВещ - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;
· область 5: +МинВещ>=X>=+МаксВещ - в данном интервале может быть представлено столько различных чисел, сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;
· область 6: X>+МаксВещ - ни одного значения из области нельзя представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать).
Особое место занимает величина 0. Она также кодируется в форме с плавающей запятой, причем как ее порядок, так и мантисса(!) полагаются равными нулю.
Особенности арифметических операций над числами
При выполнении арифметических операций все четыре действия арифметики корректны. Следует однако иметь в виду, что дискретный характер представления чисел в форме с плавающей запятой и разбиение числовой оси на области, в ряде из которых невозможно представить ни одного числа, приводит:
· Во-первых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в области 2 или 5, но который нельзя закодировать в форме с плавающей запятой точно. В этом случае, результат заменяется ближайшим из множества допустимых значений с учетом правила округления (ошибка метода представления чисел, вызванная ограниченной разрядностью мантиссы).
· Во-вторых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 1 или в область 6. Этот случай является критическим, поскольку результат представить нельзя принципиально. Рассматриваемая ситуация называется “Переполнение с плавающей запятой” (Overflow), а при ее возникновении происходит аппаратное прерывание работы ЭВМ и выполнение программы аварийно прекращается. Причиной этого является ограниченная разрядность порядка.
· В-третьих, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 3 или в область 4. Рассматриваемая ситуация называется “Потеря значимости”, а при ее возникновении результат заменяется ближайшим допустимым, как правило нулем. Выполнение программы после этого продолжается. В некоторых ЭВМ при этой ситуации вырабатывается предупредительное (информационное) сообщение. Причиной этой ситуации также является ограниченная разрядность порядка.
В заключении отметим, что при выполнении арифметических операций мантиссы чисел и их порядки обрабатываются по разным алгоритмам. При этом в операциях сложения и вычитания чисел порядки выравниваются за счет сдвига мантиссы меньшего операнда на число разрядов, равное разнице порядков операндов, а в операциях умножения и деления порядки чисел соответственно складывают или вычитают. Поскольку, как мы уже видели раньше, вычитание алгебраических чисел (т.е. с учетом их знаков) в прямом коде реализовать не просто, а порядки представляются как числа целые со знаком в прямом коде, в ряде ЭВМ при представлении числа с плавающей запятой порядок числа заменяется его характеристикой.
Характеристика числа получается из его порядка, если осуществить преобразование координат: Значение 0 на оси, изображающей характеристику, совпадает с значением -МаксПорядок:
Порядок: 
МаксПорядок 0 +МаксПорядок  |
 |
Характеристика:0 МаксХаракт.
При этом характеристика числа рассматривается только как положительное число, а следовательно, в нем не надо и кодировать знак. Признаком же того, какой знак имеет порядок некоторого числа, является содержимое старшего разряда характеристики: Если он равен 0 - порядок отрицательный, в противном случае - порядок положительный. В случае записи характеристики цепочкой цифр 1000..0 принимается, что порядок равен нулю.