На первом этапе метода потенциалов вычисляются предварительные потенциалы

удовлетворяющие системе уравнений

для

. (3.1)
(Здесь

- множество пар индексов векторов, составляющих базис

плана

.)
Переименуем векторы базиса

и обозначим l-й вектор через

Учитывая, что все компоненты вектора

, кроме двух, равных единице, равны нулю, можно переписать систему (3.1) в эквивалентном виде

.
Здесь

;

- стоимость единичной перевозки по коммуникации, соответствующей вектору

.
Таким образом, предварительные потенциалы составляют вектор оценок условий задачи относительно данного базиса ,который определяется во втором алгоритме метода улучшения плана. Если для любого вектора условий

,
То в соответствии с критерием оптимальности метода улучшения плана данный план

- решение задачи. Это же заключение следует из критерия оптимальности, используемого в методе потенциалов.
Предположим, что при некоторых i,j

.
Тогда в соответствии с методом последовательного улучшения плана выбирается такая пара индексов

, на которой величина

(оценка вектора условий

) достигает минимума, и осуществляется переход к новому базису путем замены одного из векторов системы

вектором

. Та же операция осуществляется и в методе потенциалов (этап 2). Переход к новому базису связан с разложением вводимого вектора (вектора

) по векторам базиса

, что эквивалентно решению системы линейных уравнений. Благодаря простой структуре векторов

решение этой системы существенно облегчается по сравнению с общим случаем.
Согласно методу улучшения плана после разложения вводимого вектора (вектора

) по векторам старого базиса разыскивается величина

. (3.2)
Здесь

- коэффициент при i-м векторе базиса в разложении вектора ограничений (вводимого вектора) по векторам старого базиса; минимум берется по тем индексам i, для которых

. Если

, то из базиса удаляется его r-й вектор.
Базисные компоненты нового плана определяются по формуле

(3.3)
Для транспортной задачи коэффициенты

равны нулю или

. При этом

в том и только в том случае, если i-й вектор базиса

соответствует коммуникации, которая занимает нечетную (четную) позицию в построенном маршруте. Поэтому формула (3.2) в случае транспортной задачи может быть заменена правилом:

- минимальная нечетная перевозка маршрута, связывающего пункты

и

. Это правило и используется в методе потенциалов. Формула (3.3) применительно к транспортной задаче превращается в правило изменения плана перевозок, употребляемое в методе потенциалов: перевозки, запланированные по нечетным (четным) коммуникациям, уменьшаются (увеличиваются) на величину

, перевозка между

и

полагается равной

, остальные перевозки сохраняют свои значения.
Итак, метод потенциалов является детализацией второго алгоритма метода улучшения плана, учитывающей специфику транспортной задачи. Отличие состоит только в том, что на каждом шаге метода потенциалов все параметры задачи (план, предварительные потенциалы, коэффициенты разложения вводимого вектора коммуникаций) вычисляются не по рекуррентным формулам, как в методе улучшения плана, а непосредственно. Это оказывается более выгодным из-за простоты условий задачи T, позволяющей легко решать соответствующие системы линейных уравнений.
4. Алгоритм метода потенциалов
Алгоритм метода потенциалов складывается из предварительного этапа и конечного числа однотипных итераций. На предварительном этапе строится исходный опорный план

задачи T и составляется матрица

,
где

и

- предварительные потенциалы, отвечающие исходному плану

.
На каждой итерации рассматриваются и преобразуются две матрицы

и

.
Матрица

представляет собой опорный план задачи T, построенный в результате k-й итерации. Матрица

составлена из оценок векторов

относительно базиса плана

, т.е.

где

и

- предварительные потенциалы, отвечающие плану

.
Вначале будем предполагать задачу T невырожденной. Необходимые замечания относительно вырожденного случая будут сделаны ниже.
Предварительный этап. С помощью метода северо-западного угла или метода минимального элемента определяется исходный опорный план

исследуемой задачи T. Далее, согласно правилам, изложенным при описании 1-го этапа метода потенциалов, вычисляем величины

,

,

, и составляем матрицу

.
Если все элементы

неотрицательны, то

- решение задачи T. В противном случае переходим ко второму этапу, описание которго приводится ниже. Процесс вычисления предварительных потенциалов формализуется следующим образом. Пусть

- номера тех столбцов матрицы С, которые содержат

-существенные элементы в 1-й строке;

- номера строк матрицы С, которые содержат

-существенные элементы в столбцах с номерами

. Если множества

и

для

уже определены, то

объединяет номера тех столбцов матрицы С, не принадлежащих

, которые содержат

-существенные элементы в строках с номерами

, а

состоит из номеров строк этой матрицы, не включенных в

и содержащих

-существенные элементы в столбцах с номерами

. Образование множеств

и

производится до тех пор, пока процесс не прерывается получением пустого множества. Если

, то под

будем понимать такой элемент множества

, что

-

-существенный элемент С. Аналогично, для

определим

как элемент

, при котором

является

-существенным элементом С. Из опорности плана

следует, что множества

, равно как и множества

, не пересекаются. Невырожденность плана

приводит к тому, что объединение всех множеств

есть

, а объединение всех множеств

составляет

.