Метод половинного деления 2 (стр. 1 из 3)
СОДЕРЖАНИЕ
2. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ.. 6
3 .СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ, ПРИНЯТЫМИ ПРИ ОПИСАНИИ ЗАДАЧИ И В ПРОГРАМЕ. 9
4. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОГРАММ И ЕЕ ОПИСАНИЕ. 12
6. КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТА.. 21
7. ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ.. 26
Паскаль − один из наиболее распространенных процедурно-ориентированных языков программирования 80 - 90-х годов, имеет свою достаточно интересную историю, начало которой положило объявление в 1965 г. конкурса по созданию нового языка программирования - преемника Алгола - 60. Участие в конкурсе принял швейцарский ученый Николаус Вирт, который работал на факультете информатики Стэндфордского университета. Проект, предложенный им, был отвергнут комиссией в 1967 г. Но Вирт не прекратил работу. Вернувшись в Швейцарию, совместно с сотрудниками Швейцарского федерального института технологии в Цюрихе, он уже в 1968 г. разработал новую версию языка Паскаль, названного так в честь великого французского математика и механика Блеза Паскаля, создавшего в 1642 г. первую счетную машину. В 1971 г. Н. Вирт выпустил описание своего языка, а в 1975 г. было разработано руководство для пользователей версии Паскаля, которая практически легла в основу стандарта языка. Но стандарт языка появился только в 1982 г.
Предназначенный для обучения, язык оказался очень простым и одновременно строгим. Однако вскоре выяснилось, что он также является достаточно эффективным в самых различных приложениях. Pascal поддерживает самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование). В связи с этим появились многочисленные реализации языка для разных машинных архитектур и наиболее удачной и популярной оказалась разработка фирмы Borland International для персональных IBM - совместимых ЭВМ. Эта реализация языка получила название Turbo Pascal (Турбо Паскаль) и имеет уже несколько версий.
Turbo Pascal представляет собой систему программирования, включающую в себя текстовый редактор, компилятор, компоновщик, загрузчик, отладчик, файловую систему, системную библиотеку, справочную систему. Все эти компоненты объединены в интегрированную среду с многооконным интерфейсом и развитой системой меню, что обеспечивает высокую производительность труда программиста при создании программ производственного, научного и коммерческого назначения.
Написать программу на языке программирования Pascal, выполняющую решение нелинейного уравнения. Результат работы программы должен выводиться на экран и в файл.
В программе реализовать следующее меню:
1-Ввести данные из файла
2-Ввести данные с клавиатуры
3-Отобразить результат
4-Сохранить результат в файл
0-Выход
Отладить программу на уравнении f(x)=x2-x-6 с точностью 0,001
2. ВЫБОР И ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
Процесс нахождения приближенного значения корней уравнения можно подразделить на два этапа 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности. Корень ξ считается отделённым на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение
: метод половинного деления, Ньютона
2.1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f (х) – непрерывная функция. Требуется найти корень этого уравнения ξ с точностью до ε, где е – некоторое положительное достаточно малое число.
Будем считать, что корень ξ отделен и находится на отрезке [а, b], т. е. имеет место неравенство а ≤ ξ ≤ b. Числа а и b – приближенные значения корня ξ соответственно с недостатком и с избытком. Погрешность этих приближений не превышает длины отрезка b– а. Если b– а ≤ε, то необходимая точность вычислений достигнута, и за приближенное значение корня ξ можно принять либо а, либо b. Но если b – а > ε, то требуемая точность вычислений не достигнута и необходимо сузить интервалов котором находится корень ξ, т. е. подобрать такие числа а и b, чтобы выполнялись неравенства a < ξ < b и
. При 
вычисления следует прекратить и за приближенное значение корня с точностью до ε принять либо а, либо b. Следует отметить, что значение корня будет более точным, когда за приближенное значение корня приняты не концы отрезка а и b, а середина этого отрезка, т.е. 
. Погрешность в этом случае не превышает величины 
.Метод проб. Пусть дано уравнение f(x) = 0 [f(x) – непрерывная функция] и корень ε отделен на отрезке [а, b], т. е. f(а) ∙ f(b) < 0, причем b – а > ε. Требуется найти значение корня ξ с точностью до ε (рис. 2.1)
Рис. 2.1
Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом проб
Рис. 2.2
Принцип решения уравнения типа y=f(x) методом половинного деления
На отрезке [a, b] выберем произвольным образом точку a1, которая разделит его на два отрезка [a, a1] и [a1,b]. Из этих двух отрезков следует выбрать тот, на концах которого функция принимает значения, противоположные по знаку. В нашем примере f(а) ∙ f(a1) > 0, f(a1) ∙ f(b) < 0; поэтому следует выбрать отрезок [a1,b]. Затем на этом суженом отрезке опять произвольным образом возьмем точку а2 и найдем знаки произведений f(a1) ∙ f(a2) и f(a2) ∙ f(b). Так как f(a2)× f(b) < 0, то выбираем отрезок [a2, b]. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на котором находится корень, не станет меньше ε. Корень ξ получим как среднее арифметическое концов найденного отрезка, причем погрешность корня не превышает ε/2.
Метод проб в таком виде на ЭВМ не применяется. Для составления программ и расчетов на ЭВM метод проб применяется в виде так называемого метода половинного деления.
Пусть корень ξ уравнения f(х) = 0 отделен и находится на отрезке [a, b], т.е. f(a) ∙ f(b) < 0, причем b – а > ε [здесь f(х) – непрерывная функция]. Как и ранее, возьмем на отрезке [a, b] промежуточную точку, однако не произвольным образом, а так, чтобы она являлась серединой отрезка [a, b], т. е. с = (а + b)/2. Тогда отрезок [a, b] точкой с разделится на два равных отрезка [а, с] и [с, b], длина которых равна (b– а)/2 (рис. 2.2). Если f(с) = 0, то с – точный корень уравнения f(х) = 0. Если же f(с) ≠ 0, то из двух образовавшихся отрезков [a, с] и [с, b] выберем тот, на концах которого функция f(х) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [al, b1]. Затем отрезок [al, b1] также делим пополам и проводим те же рассуждения. Получим отрезок [а2, b2], длина которого равна (b– а)/22. Процесс деления отрезка пополам производим до тех пор, когда на каком-то n-м этапе либо середина отрезка будет корнем уравнения (случай, весьма редко встречающийся на практике), либо будет получен отрезок [an, bn] такой, что bn– аn= (b– а)/2n≤ ε и аn≤ ξ ≤ bn (число n указывает на количество проведенных делений). Числа аn и bn– корни уравнения f(х) = 0 с точностью до ε. За приближенное значение корня, как указывалось, выше, следует взять ξ = (an + bn)/2, причем погрешность не превышает (b– а)/2n+1.
2.2. МЕТОД ХОРД
Метод хорд является одним из распространенных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В литературе он также встречается под названиями «метода ложного положения» (regulafalsi), «метода линейного интерполирования» и «метода пропорциональных частей».
Пусть дано уравнение f(х) = 0, где f (х) – непрерывная функция, имеющая в интервале [а, b] производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [а, b], т.е. f(a)-f (b) < 0.
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох.
Ранее мы рассмотрели четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных.
Рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т. е, f'(х) ∙ f'' (х) > 0.
Пусть, например, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(х) > 0, f''(х) > 0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через точки А0 (a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем точку x1 пересечения хорды А и В с осью Ох. Это и будет приближенное значение корня.