Исследование структурной надежности методом статистического моделирования (стр. 5 из 14)
где r – число рассматриваемых сечений. Другими словами, для того чтобы сеть была связна, необходимо, чтобы одновременно были исправны хотя бы по одному элементу в каждом сечении с учетом взаимной зависимости сечений по общим элементам. Формула (1.15) является в некотором смысле двойственной по отношению к формуле (1.6) и получается из последней заменой путей на сечения и вероятностей исправной работы на вероятности пребывания в состоянии отказа. Аналогично двойственным по отношению к формуле (1.13) является рекуррентное соотношение:
Hr+1 = Hr – πr+1 ¤ Hr.(1.16)
Рассчитаем для примера вероятность связности рассмотренной выше треугольной сети с набором сечений ab, bc, ca. Согласно (1.15) при начальном условии
имеем:Hcd = ab – bca – cab,
а при одинаковых показателях ненадежности элементов сети (a = b = c = q) получим:
. Этот результат совпадает с ранее полученным по методу перечисления деревьев.Метод сечений можно, конечно, применять и для расчета вероятности связности сети относительно выделенной пары узлов, особенно в тех случаях, когда число сечений в рассматриваемой сети значительно меньше числа нулей. Однако наибольший эффект в смысле сокращения трудоемкости вычислений дает одновременное использование обоих методов.
1.2.3 Метод двухсторонней оценки
При проектировании реальных сетей обычно отсутствует необходимость точного расчета надежности сети, так как исходные данные по надежности элементов задаются, как правило, с некоторой конечной точностью. Проектировщикам необходимо лишь убедиться в том, что надежность сети, с одной стороны, не ниже заданной и, с другой стороны, не имеет экономически необоснованного запаса. Другими словами, на практике достаточно гарантировать, что истинное значение надежности
находится в некоторых пределах Hmin< < Hmax.Можно ожидать, что оценка надежности сети с заданной конечной точностью позволит сократить трудоемкость расчетов в тем большей мере, чем ниже требуемая точность оценки. Действительно, при расчете надежности по совокупности путей, добавление каждого следующего пути приводит к увеличению надежности, а при расчете по совокупности сечений добавление каждого следующего сечения приводит к уменьшению структурной надежности, что создает предпосылки для двусторонней оценки структурной надежности с гарантированной точностью по ограниченным наборам путей и сечений. Рассмотрим эту возможность более подробно.
Обозначим через
результат, полученный при перемножении вероятностей отказов 
первых r из общего числа n путей. Тогда с учетом следующего (r + 1) пути согласно (1.13) получим уточненную оценку 
: 
(1.17)
Функция 
является монотонно неубывающей с возрастанием r и при
дает точное значение 
. Промежуточные значения 
при 
можно рассматривать, как оценки 
снизу. Аналогично, исходя из формулы (1.15), можно получить монотонно не возрастающую последовательность 
, которую можно рассматривать, как последовательность оценок сверху. Характер зависимости 
и 
от r представлен на рисунке 1.5. Опыт показывает, что рассматриваемые зависимости при малых r меняются весьма круто, а с дальнейшим увеличением r очень медленно приближаются к общему пределу . Это свойство можно использовать для сокращения трудоемкости оценок надежности с заданной точностью. Действительно, для решения задачи достаточно последовательно просматривать пути μ, пока не выполнится условие 
, а затем просматривать сечения σ, пока не выполнится условие 
. Если для некоторого m окажется, что 
, то можно прекратить расчеты и принять решение, что в сети заложена излишняя избыточность. Если же для некоторого r окажется, что 
, то это значит, что требования к надежности сети не выполняются. Число требующих просмотра путей m и сечений r обычно гораздо меньше общего числа путей n и общего числа сечений k (m << n, k << r), чем и достигается сокращение трудоемкости оценки. Одновременно гарантируется, что истинное значение надежности сети лежит в заданных пределах, а именно: 
. 
Рисунок 1.5. Характер изменения оценок структурной надежности по совокупности путей и сечений
Точность оценки может быть задана в виде допустимых отклонений от истинного значения
. В этом случае просмотр путей и сечений следует вести до тех пор, пока не выполнится условие 
. В частности, если 
, то условие прекращения расчетов имеет вид 
,а в качестве оценки надежности следует принять следующую величину: 
.В ходе расчетов, решения о рассмотрении на следующем шаге очередного пути или сечения целесообразно принимать по критерию большего абсолютного приращения надежности по соответствующему параметру, то есть по m или r.
Пример. Пусть необходимо оценить надежность сети, представленной графом на рисунке 1.6, с точностью H ± 0,01. Узлы сети идеально надежны. Линии, обозначенные буквами, имеют одинаковую надежность
.Выпишем первые несколько путей и сечений, которые могут потребоваться для расчета:
М' = { аbс, def, abhf, dgbc...};
S' = { ad, be, cf, age...}.
Полные множества путей М и сечений S для рассматриваемого метода можно не выписывать. При необходимости, если на начальном подмножестве М', S' не удается достичь необходимой точности, эти подмножества можно будет расширить по ходу расчетов.
Поскольку первые два пути из М' независимы, можно сразу записать начальную нижнюю оценку вероятности несвязности сети:
.Переходя к оценке надежности,
, получаем 
. Начальную верхнюю оценку надежности можно получить по первым трем независимым сечениям множества S': 
. (1.18)При рассмотрении сечений запись вида
интерпретируется как наличие, по крайней мере, одного исправного элемента в сечении, поэтому при подстановке исходных данных в (1.18) получим: 
.Разница между полученными верхней и нижней оценками составляет 0.044, что больше 0.02, поэтому необходимо продолжить расчет.
Добавление следующего пути дает большее абсолютное приращение надежности, чем добавление следующего сечения. Поэтому вводим в рассмотрение очередной путь abhf из множества М' согласно формуле (1.17):
.Отсюда получаем очередную оценку надежности снизу
.Убеждаемся, что заданная точность еще не достигнута и добавление очередного пути снова даст большее абсолютное приращение надежности, поэтому вводим следующий путь dgbc из множества М' для уточнения нижней границы надежности:
,