Исследование структурной надежности методом статистического моделирования (стр. 2 из 14)

где

таким образом, поскольку

является полной группой несовместных событий, то

Определим переключательную функцию

через величину проводимости сети между вершинами

для набора r. Для проводящих наборов соответствующие функции

примем равными единице, а для непроводящих – нулю. Каждой паре вершин графа, таким образом, сопоставляется общая функция проводимости (соответствующая совершенной дизъюнктивной нормальной форме при задании сети в виде булевой функции):

где

– наборы, для которых функция равна единице, а

– число таких наборов (

). Учитывая это, вероятность проводимости сети между узлами

определится формулой:

,(1.1)

где

Составление формулы (1.1) для конкретных сетей и последующее ее решение является, в общем случае, практически единственным точным численным методом оценки величины надежности релейно-стохастической сети между произвольной парой узлов.

Как составление, так и решение формулы (1.1) – исключительно трудоемкий процесс, поскольку в ее основе лежит перебор всех состояний системы. Решение же данной формулы с использованием ЭВМ при

времени выполнения операции умножения двух чисел, порядка

, и состоящей из

ненадежных компонент составит около 50 часов, а для сети с

почти тысячу лет!

1.2 Приближенные методы анализа структурной надежности

1.2.1 Метод разложения

Несколько менее трудоемким является метод, основанный на разложении структуры сети относительно какого-нибудь ее элемента (метод разложения Шеннона ‑ Мура). Идея этого метода заключается в том, чтобы свести анализируемую структуру к последовательно-параллельным соединениям [2] и тем самым избежать полного перебора состояний. Для примера рассмотрим сеть простейшей структуры в виде мостика (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1. Метод разложения

Для простоты положим, что узлы этой сети идеально надежны, а ветви имеют конечную надежность рi, i =

. Нумерация ветвей приведена на рисунке. Проделаем с элементом под номером 5 (“ перемычка ” мостика) два опыта – “ короткого замыкания ”, соответствующий исправному состоянию элемента, и “ холостого хода ”, соответствующий его неисправному состоянию. Если перемычка находится в исправном состоянии, что случается с вероятностью p5, то соединяемые ею узлы можно “ стянуть ” в смысле надежности (рисунок 1.1) и сеть будет иметь вид двух последовательно соединенных и параллельно включенных пар ветвей [3]. Если перемычка находится в неработоспособном состоянии, что случается с вероятностью 1 – p5, то оставшаяся сеть будет иметь вид параллельного соединения цепочек.

Таким образом, мы “ разложили ” сеть относительно элемента 5, в результате чего получили две подсети с числом элементов на единицу меньше, чем в исходной сети. Поскольку обе подсети представляют собой последовательно-параллельные структуры, то можно сразу записать искомое выражение для вероятности связности сети относительно узлов r, l, используя для компактности обозначение

В более сложных структурах может потребоваться неоднократное применение теоремы разложения. Так, на рисунке 1.2 показано разложение относительно элемента 7 (верхняя строка), а затем по элементу 8 (нижняя строка). Получившиеся четыре подсети имеют последовательно-параллельные структуры и больше не требуют разложений. Легко видеть, что на каждом шаге число элементов в получающихся подсетях уменьшается на единицу, а число подсетей, требующих дальнейшего рассмотрения удваивается. Поэтому описанный процесс в любом случае конечен, а число результирующих последовательно-параллельных структур составит 2m, где т — число элементов, по которым пришлось провести разложение. Трудоемкость этого метода можно оценить величиной 2m, что меньше трудоемкости полного перебора, но все еще неприемлемо для расчета надежности реальных сетей коммутации.

Рисунок. 1.2. Последовательное разложение сети

1.2.2 Метод сечений или совокупности путей

Рассмотрим еще один метод расчета структурной надежности сетей. Предположим, что необходимо определить вероятность связности сети между заданной парой узлов A и B.

Критерием исправной работы сети в данном случае является наличие хотя бы одного пути передачи информации между рассматриваемыми узлами. Предположим, что имеется список возможных путей в виде перечня элементов (узлов и направлений связи), входящих в каждый путь. В общем случае пути будут зависимы, поскольку любой элемент может входить в несколько путей. Надежность Rs любого пути s можно вычислить по формуле последовательного соединения

, где pi s – надежность элемента i пути s.

Искомая надежность

зависит от надежности каждого пути и вариантов их пересечений по общим элементам. Обозначим надежность, которая обеспечивается первыми r путями, через

. Добавление очередного (r + 1) пути, с надежностью

, очевидно, приведет к увеличению структурной надежности, которая теперь будет определяться объединением двух событий: исправен хотя бы один из первых r путей или исправен (r + 1)-й путь. Вероятность наступления этого объединенного события с учетом возможной зависимости отказов (r + 1)-го и остальных путей

,(1.2)

где

– вероятность исправности хотя бы одного из первых r путей при условии, что исправен (r + 1)-й путь.

Из определения условной вероятности

следует, что при ее расчете вероятность исправной работы всех элементов, входящих в (r + 1)-й путь, необходимо положить равной единице. Для удобства дальнейших расчетов представим последний член выражения (1.2) в следующем виде:

,(1.3)

где символ (¤) означает, что при перемножении показатели надежности всех элементов, входящих в первые r путей и общих с (r + l)-м путем, заменяются единицей. С учетом (1.3) можно переписать (1.2):

∆

,(1.4)

где ∆

– приращение структурной надежности при введении

(r + 1) ‑ пути;

‑ вероятность того, что произойдет одновременный отказ первых r путей.

Учитывая, что приращение надежности ∆Hr+1 численно равно уменьшению ненадежности ∆Qr+1 получаем следующее уравнение в конечных разностях:

∆

. (1.5)

Легко проверить, что решением уравнения (1.5) является функция:

(1.6)