Дослідження однокрокових методів розв язання звичайних диференційн 2 (стр. 2 из 2)

k = F(tn,xn),

k2 =F(tn + a2 h, xn +b21 hk1),

k3 =F(tn + a3 h, xn +b31 hk1 +b32 hk2 ),

---------------------------------------------

k = F(t +ah, x + bhk+bhk+...+bhk ).

Потім з формули

знаходиться значення хn+1 = х(tn+1). Числові коефіцієнти вибираються з розумінь точності, методи Рунге-Кутта розрізняються способом вибору цих коефіцієнтів. Помітимо, що методи Рунге-Кутта при m> 5 не використовуються.

У розрахунках звичайно роблять слідуючим чином. Інтервал, на якому необхідно знайти наближене рішення диференціального рівняння, розбивають на кілька інтервалів меншого розміру, і на кожнім такому інтервалі застосовують метод Ейлера чи будь-який інший з названих чисельни0х методів рішення диференціальних рівнянь. У підсумку одержують, якщо знову звернутися до мови геометричних побудов, ламану, котра досить (чи недостатньо!) добре наближає графік точного рішення диференціального рівняння (рисунок 2.3).

Розглянемо загальні риси однокрокових методів.

1. Для одержання інформації в новій точці потрібні дані лише про одній попередній точці.

2. В основі всіх однокрокових методів лежить розкладання функції в ряд Тей лора, у якому зберігаються члени, содержащі h у ступені до k включно. Ціле число і називається порядком методу. Погрішність на кроці має порядок k+1.

3. Однокрокові методи не вимагають обчислення похідних - обчислюється лише функція, але може знадобитися її значення в декількох проміжних точках.

4. Можливість зміни величини кроку обчислень.

Рисунок. 2.3. Відповідність між наближеним і точним рішеннями диференціального рівняння

3. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ

3.1 Алгоритми методів Ейлера

В розробленій програмі використовуються окремі алгоритми для кожного методу та алгоритм головної програми. Таким чином є 4 основних алгоритми. Розглянемо їх.

Рисунок 3.1.Алгоритм простого методу Ейлера

Рисунок 3.2.Алгоритм виправленого методу Ейлера

Рисунок 3.3.Алгоритм модифікованого методу Ейлера

Як бачимо алгоритми майже однакові, різниця тільки в формулі обчислення наступного члена.

3.2 Алгоритм головної програми

Рисунок 3.4. Алгоритм головної програми

Головна програма складається з двох частин (рисунок 3.4). Перша частина програми складається з процедури-заставки z та процедури ініціалізації графічного режиму init для зображення меню. Друга частина розміщена в циклі і виконується довільне число раз (в залежності скільки разів будуть вводитись нові данні).

4. РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ПРОГРАМИ

Після запуску програми з’являється заставка з описом функції програми та іменем розробника (додаток Б). Користувач може зразу ж вийти з програми, натиснувши клавішу Esc. При натисканні клавіші Enter з’являться головне меню програми (додаток В).

Після натиснення клавіші „1” введемо крок обчислення. Далі натиснувши клавішу „2” , з’являються результати роботи програми (додаток Г).

ВИСНОВКИ

У даній роботі розглянуті методи наближеного обчислення таблиці значень функції, яка є розв’язком заданого диф.рівняння на прикладі простого, виправленого і модифікованого методів. Дана методика розрахунку пригідна для розв’язання різних диф.рівнянь першого порядку з початковими умовами. У ході роботи отримані практичні навички програмування на мові Паскаль.

Використані джерела інформації

1. Квєтний Р.Н. Методи комп’ютерних обчислень. – Вінниця: ВДТУ, 2001.

2. Бурківська В.Л., Войцехівський С.О., Гаврилюк І.П. та ін. Методи обчислень. Практикум на ЕОМ. – К.: Вища школа, 1995

3. Каранчук В.П., Сваровський И.Н., Суздальницкий И.Д. Основы применения ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1975.

5. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

6. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. – К.: Вища школа, 1986

7. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. – К.: Вища школа, 1989