Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений (стр. 1 из 5)

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

В данной курсовой работе рассматривается знаменитый метод Ньютона и его модификация решения систем нелинейных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Изучается сходимость основного и упрощенного методов Ньютона и метода, получаемого из метода Ньютона применением итерационного процесса для приближенного обращения матриц Якоби.

А так же коротко описываются: методы ложного положения, метод секущих, метод Стеффенсена, который чаще оказывается лучшим выбором для решения систем нелинейных уравнений нежели метод секущих или метод ложного положения.

1. МЕТОД НЬЮТОНА И ЕГО РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных задач. Расчётную формулу метода можно получить, используя различные подходы. Рассмотрим два из них.

1) Метод касательных.

Выведем расчётную формулу метода для решения нелинейного уравнения

из простых геометрических соображений. Пусть

- заданное начальное приближение к корню

. В точке

с координатами

проведём касательную к графику функции

и за новое приближение

примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью

. Аналогично за приближение

примем абсциссу точки пересечения с осью

касательной, проведённой к графику в точке

с координатами

. Продолжая этот процесс далее, получим последовательность

приближённой к корню

Уравнение касательной, проведённой к графику функции

в точке

имеет вид:

. (1.1)

Полагая в равенстве (1.1)

, замечаем, что при выполнении условия

абсцисса

точки пересечения касательной с осью

удовлетворяет равенству:

. (1.2)

Выражая из него

, получаем расчётную формулу метода Ньютона:

. (1.3)

Благодаря такой геометрической интерпретации этот метод часто называют методом касательных.

ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

Пусть требуется решить систему уравнений

(1)

где

— заданные, нелинейные (среди них могут быть и линейные)

вещественнозначные функции п вещественных переменных

. Обозначив

данную систему (2.1) можно записать одним уравнением

(2)

относительно векторной функции Fвекторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения

В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы — задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n≥2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F(x).

2) Метод линеаризации.

С наиболее общих позиций метод Ньютона можно рассматривать как итерационный метод, использующий специальную линеаризацию задачи и позволяющий свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений.

Пусть приближение

уже получено. Представим функцию в окрестности точки

по формуле Тейлора:

. (1.4)

Здесь

- некоторая точка, расположенная между

. Заменяя в уравнении

функцию

главной линейной частью разложений (1.4), получим линейное уравнение: