Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные методы
механики сплошных сред
Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург
2008
Содержание
Содержание. 2
1. Физическая мотивация. 3
2. Математическая корректность. 5
2.1 Существование решения. 5
2.2 Единственность решения. 6
2.3 Устойчивость решения. 6
3. Аппроксимация. 7
4. Численный метод. 8
5. Тесты.. 9
Выводы.. 16
Список литературы.. 17
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины
из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины h
– основание стержня, описываемое уравнением 
, 
– основание стержня, описываемое уравнением 
, 
– боковая поверхность стержня.Сделаем следующие предположения:
1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4.
на и ;5.
на ;6.
на ;7.
на ;Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
(1.2)Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси
, где 
– угол закрутки на единицу длины.В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле
минимизирует функционал 
(1.3)Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты
, кроме 
и 
, равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно: 
(1.4)Введем функцию тока
и положим: 
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения
на части границы 
можно представить в виде: 
(1.5)С другой стороны,
(1.6)Следовательно,
, т.е. 
на границе 
. Не умаляя общности, можем положить 
на . Значит, 
.Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
, 
– предел текучести материала. (1.7)В данном примере,
. Отсюда, 
почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах 
, получаем 
(1.8)В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1: Найти
такое, что достигает минимума функционал 
,где
, (1.9) 
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить 
.Если ввести билинейную форму
, элемент 
и скалярное произведение 
, то задача З1 запишется в виде 
(1.10)или в форме вариационного неравенства:
(1.11)2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1) 
– рефлексивное банахово пространство,Подмножество
является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.Покажем, что
– непрерывный и выпуклый функционал. 
(2.1.2)Пусть
: 
в Тогда
в 
и 
в , при 
Следовательно,
, т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3) 
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1. Билинейная форма
– V-эллиптическая.