Динамический синтез системы управления (стр. 7 из 10)
(2.72)
Определим основные формулы для построения границ области устойчивости.
Подставим в выражение (2.72)
: 
Уравнение (2.72) будет выполнено, при условии, что действительная и мнимая части равны нулю, то есть данное уравнение можно записать через систему уравнений: 
(2.73)где
, 
, 
, 
, 
.Решим полученную систему уравнений методом Крамера:
(2.74) 
(2.75) 
(2.76) 
, (2.77) 
. (2.78)В итоге мы получили параметрическое уравнение (параметр – ω) для основной границы D-разбиения.
Построим зависимости (2.77) и (2.78). Из рисунка 2.14 видно, что при возрастании частоты
асимптотически стремиться к нулю, а 
– к бесконечности. 
Рисунок 2.14 – График зависимости
и 
Основная граница области D-разбиения отмечается 2-х кратной штриховкой. При движении по кривой D-разбиения в сторону возрастания
штриховку наносят слева, если определитель 
положителен, и справа, если отрицателен. Зависимость 
представлена на рисунке 2.15. 
Рисунок 2.15 – Зависимость
Нанесем штриховку согласно правилу: при перемещении по кривой в направлении возрастания частоты кривая штрихуется слева, если определитель
положителен, или справа, если определитель отрицателен.Из рисунка 2.15 видно, что якобиан
положителен (имеет знак «+») при положительных значениях частоты. Следовательно, на плоскости параметров 
- 
штриховку основной границы D-разбиения нанесем слева по возрастанию частоты .Определим особые границы области D-разбиения.
Для построения особой границы необходимо в характеристическом уравнении замкнутой системы (2.72) приравнять к нулю старший и младший коэффициенты, при этом получим:
= 0, при 
= 0, при 
.Или
(2.79)Отметим в плоскости параметров
- особые границы (2.79). Штриховка особой границы наносится со стороны асимптотического сближения основной и особой границы, то есть в данном случае сверху оси параметра и правее оси параметра .Построим в плоскости параметров
и К основную границу D-разбиения. При построении достаточно рассмотреть изменения частоты от нуля до плюс бесконечности постольку, поскольку 
и – четные функции. 
Основная граница D-разбиения
Особые границы Т5 , К
+ – номинальная точка
Рисунок 2.16 – Область устойчивости САР
Область, для которой все штриховки направлены внутрь, называется претендентом. И, так как в этой области находится номинальная точка (0.0049; 94.92), в которой система является устойчивой, эта область является областью устойчивости системы.
Также по рисунку 2.16 определим критический коэффициент усиления системы при заданном Т5:
Если сравнить полученное значение граничного коэффициента усиления с найденным в пункте 2.3 (
), то можно говорить, что они практически совпадают.3 Анализ САР с учетом нелинейностей
В рассматриваемой системе присутствуют нелинейности, которые не учитывались на первых этапах исследования системы (производилась так называемая линеаризация на физическом уровне). В действительности же, УМ имеет ограниченную зону линейности (
), а между ОУ и ДОС присутствует люфт (зазор) величиной 2Δ. Исследование отработки ступенчатых сигналов проводим с учетом насыщения УМ, но без учета люфта. На рисунке 3.1,б приведена характеристика нелинейного элемента (НЭ) типа «насыщение». 
Рисунок 3.1 – Характеристика нелинейностей: а) люфт; б) ограничение
3.1 Исследование системы при подаче ступенчатого сигнала
Проанализируем влияние типовой нелинейности “насыщение” в УМ на переходные процессы в системе при подаче на вход ступенчатого сигнала величины
, 
, 
и 1 В. Нелинейность “люфт” при этом не учитывается.Построим реакции нелинейной системы по выходу УМ и выходу ДОС на ступенчатый входной сигнал величины
, 
, 
и на единичный с помощью моделирования соответствующей нелинейной системы в среде ППП VisSim. Здесь 
В — наибольшая величина ступенчатого входа при которой УМ работает в зоне линейности (рассчитана в разделе 2.4). Графики переходных функций по выходу ДОС в нормированном виде изображены на рисунке 3.2. 
1 – А*, 2 – 3А*, 3 – 5 А*, 4 – единичный сигнал
Рисунок 3.2 – Реакция системы по выходу ДОС на ступенчатые сигналы
В нашем случае влияние нелинейности слабо прослеживается при воздействии входных сигналов равных
, , . Для исследования построим дополнительные графики при входных сигналах равных 100 , 200 , 1000 . Их графики приведены на рисунке 3.3.