Поиск в ширину на графах (стр. 2 из 4)
(б)
Рис.4. Списки инцидентности ЗПИСЬ[v], v =V, соответствующие графам на рис.1.
из списка, мы можем легко за число шагов, ограниченное константой, удалить другой элемент, представляющий то же самое ребро, не просматривая список, содержащий этот элемент.
Аналогичным способом определяем для каждой вершины и неориентированного графа список ПРЕДШ[v], содержащий вершины из множества (u: u -> v).
Число ячеек памяти, необходимое для представления графа с помощью списков инцидентности, будет, очевидно, иметь порядок m + n. На рис.4 представлены списки инцидентности, соответствующие графам на рис. 1.
2. Анализ алгоритма.
Рассмотрим метод поиска в графе, называемый поиском в ширину (англ: breadth first search). Прежде чем описать его, отметим, что при поиске в глубину чем позднее будет посещена вершина, тем раньше она будет использована — точнее, так будет при допущении, что вторая вершина посещается перед использованием первой. Это прямое следствие того факта, что просмотренные, но еще не использованные вершины скапливаются в стеке. Поиск в ширину, грубо говоря, основывается на замене стека очередью. После такой модификации, чем раньше посещается вершина (помещается в очередь), тем раньше она используется (удаляется из очереди). Использование вершины происходит с помощью просмотра сразу всех еще не просмотренных соседей этой вершины. Вся процедура поиска представлена ниже (данная процедура используется также и для просмотра графа, и в псевдокоде, описанном ниже, отсутствуют операторы, которые не используются для поиска).
1 procedure WS (v);
(*поиск в ширину в графе с началом в вершине v;
переменные НОВЫЙ, ЗАПИСЬ — глобальные *)
2 begin
3 ОЧЕРЕДЬ := Æ; ОЧЕРЕДЬ <= v; НОВЫЙ [v] := ложь
4 while ОЧЕРЕДЬ ¹Æ do
5 begin р<= ОЧЕРЕДЬ; посетить р;
6 for u Î ЗАПИСЬ [р] do
7 if НОВЫЙ [u] then
8 begin ОЧЕРЕДЬ <= u; НОВЫЙ [u]:=ложь
9 end
10 end
end
Примечание: в 7-й строке псевдокода кроме условия НОВЫЙ[u] должно также выполниться условие наличия связи (ребра) между v-й и u-й вершинами. Для установки наличия ребра сначала в списке v-й вершины ищется информационное значение и-й вершины. Если оно найдено, то ребро установлено, если нет, то информационное значение v-й вершины ищется в списке и-й вершины, т.е. наоборот. В результате добавления двух лишних циклов поиска общий алгоритм поиска несколько теряет компактность, но на быстродействии в целом это не сказывается.
1 procedure Write_S;
2 begin
3 for v Î V do НОВЫЙ[u]:= истина; (* инициализация *)
4 for v Î V do
5 if HOBЫЙ[v] then WG(v)
6 end
Способом, аналогичным тому, какой был применен для поиска в глубину, можно легко показать, что вызов процедуры WS(v) приводит к посещению всех вершин связной компоненты графа, содержащей вершину v, причем каждая вершина просматривается в точности один раз. Вычислительная сложность поиска в ширину также имеет порядок О(m + n), так как каждая вершина помещается в очередь и удаляется из очереди в точности один раз, а число итераций цикла 6, очевидно, будет иметь порядок числа ребер графа.
В очереди помещены сначала вершины, находящиеся на расстоянии 0 от v (т. е. сама вершина v), затем поочередно все новые вершины, достижимые из v, т. е. вершины, находящиеся на расстоянии 1 от v, и т. д. Под расстоянием здесь мы понимаем длину кратчайшего пути. Предположим теперь, что мы уже рассмотрели все вершины, находящиеся на расстоянии, не превосходящем r, от v, что очередь содержит все вершины, находящиеся от v на расстоянии r, и только эти вершины. Использовав каждую вершину р, находящуюся в очереди, наша процедура просматривает некоторые новые вершины, и каждая такая новая вершина u находится, очевидно, на расстоянии г + 1 от v. После использования всех вершин из очереди, находящихся на расстоянии r от v, она (очередь), очевидно, содержит множество вершин, находящихся на расстоянии r + 1 от v, и легко заметить, что условие индукции выполняется и для расстояния r + 1.
На рис. 5 представлен граф, вершины которого занумерованы согласно очередности, в которой они посещаются в процессе поиска в глубину.
Как и в случае поиска в глубину, процедуру WS можно использовать без всяких модификаций и тогда, когда списки
1(1)
10(7)
Рис. 5 Нумерация вершин графа (в скобках), соответствующая очередности, в которой они просматриваются в процессе поиска в ширину.
инцидентности ЗАПИСЬ[v], v = V, определяют некоторый ориентированный граф. Очевидно, что тогда посещаются только те вершины, до которых существует путь от вершины, с которой мы начинаем поиск
3. Спецификация задачи
3.1 Входные и выходные данные
ver – массив вершин графа, заполняемый случайным образом целыми числами в диапазоне от 0 до 1000;
nv - массив флагов проверки вершин;
ocher – массив для организации очереди, заполняемой значениями рассматриваемых информационных вершин графа;
raz – переменная целочисленного типа, определяющая в программе размер создаваемого графа;
schet – счетчик количества сравнений в процедуре поиска;
key – вводимый с клавиатуры ключ поиска;
mgsi – переменная логического типа, разрешающая вывод списка инцидентности графа;
prosm - переменная логического типа, превращающая процедуру поиска WS в процедуру просмотра графа;
find - переменная логического типа, определяемая при нахождении искомой информационной вершины;
craz, menu, mg, sormen – переменные символьного типа для работы с меню программы.
3.2 Используемые процедуры
Make_Graph – процедура создания графа в динамической памяти;
WS - процедура просмотра графа с v-той вершины методом поиска в ширину;
Write_S – процедура инициализации признаков просмотра вершин и управляющая процедурой WS;
Sort - процедура сортировки вершин графа по неубыванию.
4. Текст программы на языке TURBO PASCAL
4.1 Листинг программы.
{$S+} {$R+} {$I+} {$M 65520,0,655360}
program graph;
uses crt,newtimer;
const
maxraz=400;
type index=^list;
list= record
inf: word;
next: index;
end;
connection=array[1..maxraz] of index;
var
el,em,size: pointer;
lst,m: connection;
ver: array[1..maxraz] of word; {массив вершин}
Nw: array[1..maxraz] of boolean;
ocher: array[1..maxraz+1] of integer;
raz: integer;
exch,fil,i,j,l,schet,v,u,p: word;
key,kols,t,tm: longint;
mgsi,mem,sor,prosm,find: boolean;
craz,menu,mg,sormen:char;
{------------------------------------------------------
***Процедура создания графа в динамической памяти***}
procedure Make_Graph(mgsi: boolean);
label Er;
var
n: index;
i,j: word;
kolvo: longint;
spro: boolean;
begin
randomize;
for i:=1 to raz do begin
ver[i]:=random(1000);
end;
kolvo:=0;
for i:=1 to raz do begin
lst[i]:=nil;
for j:=1 to raz do begin
spro:=true;
if j=raz then goto Er;
if j=i then inc(j);
n:=nil;
n:=lst[j];
if lst[j]<>nil then
repeat
if n^.inf=ver[i] then spro:=false;
n:=n^.next;
until (n=nil) or (not(spro));
if (round(random)=1) and spro then
begin
new(m[i]);
inc(kolvo);
m[i]^.inf:=ver[j];
m[i]^.next:=lst[i];
lst[i]:=m[i];
end;
Er:
end;
end;
writeln;
if mgsi then {ВЫВОД СВЯЗЕЙ ВЕРШИН}
for i:=1 to raz do {}
begin {}
write(ver[i],'-'); {}
m[i]:=lst[i]; {}
if m[i]<>nil then {}
repeat {}
write(m[i]^.inf,'═'); {}
m[i]:=m[i]^.next; {}
until m[i]=nil; {}
writeln('ﾧ'); writeln; {}
end; {}
writeln('КОЛ-ВО РЕБЕР СОЗДАННОГО ГРАФА: ',kolvo);
end;
{------------------------------------------------------
***Процедура просмотра графа с v-той вершины методом поиска в ширину***}
Procedure WS(v:word; var find: boolean;
var schet: word);
var {v - пор. номер вершины графа}
ik,oo,o9,o3,op: integer;
rebro: boolean;
begin {оо - размер очереди в данном цикле}
ocher[1]:=v; oo:=1; {вставка текущего индекса вершины в начало очереди}
Nw[v]:=False; {флаг на вершину текущего индекса}
while oo>0 do begin {пока есть очередь...}
p:=ocher[1];{удаление 1-го элемента из очереди и присваивание его p}
for op:=1 to oo-1 do ocher[op]:=ocher[op+1]; ocher[oo]:=0;
dec(oo);
inc(schet); {счетчик сравнений}
if not(prosm) and (ver[p]=key) then {if ver[p]=key...}
begin
find:=true;
exit; {поиск окончен}
end;
{вывод (просмотр) информации вершины}
if prosm then begin
if wherex>=79 then writeln;
write(ver[p],' ');
end;
o9:=oo;
for u:=1 to o9 do {u изменяется в диапазоне размера очереди}
begin
rebro:=false;{связи между ver[v] и ver[u] нет}
{указатель на начало списка связей v-й вершины}
m[v]:=lst[v];
while m[v]<>nil do
begin {поиск значения ver[u] в списке связей v-й вершины}
if m[v]^.inf=ver[u] then begin
{ребро есть} rebro:=true;
break;
end;
m[v]:=m[v]^.next; {ребра пока нет...}
end;
{если связь не установлена, поищем связь с ver[v] в списке u-й вершины, т.е. наоборот...}
if not(rebro) then
begin
m[u]:=lst[u];{указатель на начало списка связей u-й вершины}
while m[u]<>nil do
begin
if m[u]^.inf=ver[v] then begin
rebro:=true;
break;
end;
m[u]:=m[u]^.next;
end;
end;
{если связь все таки есть и u-я вершина еще не рассмотрена...}
if rebro and Nw[u] then
begin
inc(oo); {вставка u в начало очереди}
for op:=oo downto 2 do ocher[op]:=ocher[op-1];
ocher[1]:=u;
Nw[u]:=False;{флаг на вершину с индексом u}
end;
end;
end;
end;
{------------------------------------------------------
***Процедура просмотра графа***}
Procedure Write_S(key: longint; prosm: boolean;
var find: boolean; var schet: word);
begin
{инициализация признаков просмотра вершин}
for i:=1 to raz do Nw[i]:=true;
for i:=1 to raz do
{если из raz вершин i-ая не использована, то смотреть граф с i-ой вершины}
if Nw[i] and not(find) then WS(i,find,schet);
end;
{------------------------------------------------------
***Процедура сортировки вершин по неубыванию***}
procedure Sort;
begin
for l:=1 to raz-1 do
for j:=1 to raz-l do
if ver[j]>ver[j+1] then
begin
exch:=ver[j];
el:=lst[j];
em:=m[j];
ver[j]:=ver[j+1];
lst[j]:=lst[j+1];
m[j]:=m[j+1];
ver[j+1]:=exch;
lst[j+1]:=el;
m[j+1]:=em;
end;
end;
{=====================================================}
begin
while menu<>'4' do
begin
textmode(1);
textbackground(blue);
clrscr;
textcolor(red);
gotoxy(16,3); writeln('Г Р А Ф Ы');
textcolor(white);gotoxy(5,5);
writeln('* Исследование поиска в ширину *');
textcolor(black); gotoxy(7,22);
writeln('Created by Andrew Spikhailo');
gotoxy(15,24); write('ARMAVIR 2001');
textcolor(white);
gotoxy(7,10); write('┌───────────MENU───────────╖');
gotoxy(7,11); write('│');textcolor(green);
write('1 Создание графа '); textcolor(white);write('║');
gotoxy(7,12); write('│');textcolor(green);