Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений (стр. 3 из 3)
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | 0, 632 | 2, 368 | 0, 267 |
| 1 | 0, 733 | 0, 057 | 1, 946 | 0, 029 |
| 2 | 0, 704 | 0, 001 | 1, 903 | 0, 001 |
| 3 | 0, 703 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.
Пример 4.
Решить уравнение методом Ньютона.
cos x –e-x/2+x-1=0.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = -sin x + e-x/2/2+1.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = -cos x - e-x/2 /4.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | -0. 066 | 0. 462 | 0. 143 |
| 1 | 1. 161 | -0. 007 | 0. 372 | 0. 018 |
| 2 | 1. 162 | 0. 0001. | 0. 363 | 0. 001 |
| 3 | 1. 162 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.
Пример 5
Решить уравнение методом Ньютона.
-2+ex- e-x =0.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = ex+e-x.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = ex-e-x.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | 0, 350 | 3, 086 | 0, 114 |
| 1 | 0, 886 | 0, 013 | 2, 838 | 0, 005 |
| 2 | 0, 881 | 0, 001 | 2, 828 | 0, 000 |
| 3 | 0, 881 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.
III. Разработка программного продукта
3.1 Описание программы
Данная программа создана для работы в текстовом и графическом режиме. Она состоит из модуля Graph, Crt, трёх функций и трёх процедур.
1. модуль Crt предназначен для обеспечения контроля над текстовыми режимами экрана, расширенными кодами клавиатуры, цветами, окнами и звуком;
2. модуль Graph предназначен для обеспечения контроля над графическими объектами;
3. procedure GrafInit - инициализирует графический режим;
4. function VF – вычисляет значение функции;
5. function f1 – вычисляет значение первой производной функции;
6. function X_Newt – реализует алгоритм решения уравнения методом Ньютона.
7. procedure FGraf – реализует построение графика заданной функции f(x);
Ots=35 - константа, определяющая количество точек для отступа от границ монитора;
fmin, fmax – максимальные и минимальные значения функции;
SetColor(4) – процедура, которая устанавливает текущий цвет графического объекта, используя палитру, в данном случае это красный цвет;
SetBkColor(9) – процедура, которая устанавливает текущий цвет фона, используя палитру, в данном случае – это светло-синий цвет.
8. Procedure MaxMinF – вычислят максимальные и минимальные значения функции f(x).
Line – процедура, которая рисует линию из точки с координатами (x1, у1) в точку с координатами (х2, у2);
MoveTo – процедура, перемещающая указатель (СР) в точку с координатами (х, у);
TextColor(5) – процедура, устанавливающая текущий цвет символов, в данном случае – это розовый;
Outtexty(х, у, ‘строка’) – процедура, которая выводит строку, начиная с позиции (х, у)
CloseGraph – процедура, закрывающая графическую систему.
3.2 Тестирование программы
Для тестирования программы возьмем те примеры, которые решали в практической части работы, чтобы сверить результаты и проверить правильность работы программы.
1) sin x2 + cosx2 - 10x. = 0.
Тест:
Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].
Введите а = -1
Введите b=1
[a, b] = [-1, 1]
Введите точность вычисления eps=0. 01
{вывод графика функции}
Корень уравнения, найденный методом Ньютона:
x = 0.101.
сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.
Получим : х=0, 0000002
2) cos x – e-x2/2 + x - 1 = 0.
Тест:
Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].
Введите а = -3
Введите b=3
[a, b] = [-3, 3]
Введите точность вычисления eps=0. 001
{вывод графика функции}
Корень уравнения, найденный методом Ньютона:
x = 1.089.
сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.
Получим : х=-0, 0000000
3) x2 - e-x = 0.
Тест:
Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].
Введите а = -1
Введите b=1
[a, b] = [-1, 1]
Введите точность вычисления eps=0. 01
{вывод графика функции}
Корень уравнения, найденный методом Ньютона:
x = 0.703.
сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.
Получим : х=0, 0000000
4) cos x –e-x/2+x-1=0.
Тест:
Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].
Введите а = -1,5
Введите b=1,5
[a, b] = [-1,5, 1,5 ]
Введите точность вычисления eps=0. 001
{вывод графика функции}
Корень уравнения, найденный методом Ньютона:
x = 1,164.
сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.
Получим : х=0, 0008180
5) -2+ex- e-x =0.
Тест:
Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].
Введите а = -0,9
Введите b=0,9
[a, b] = [-0,9, 0,9]
Введите точность вычисления eps=0. 001
{вывод графика функции}
Корень уравнения, найденный методом Ньютона:
x = 0.881.
Сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.
Получим : х=0, 0000000
Целью работы было создать программу, которая вычисляет корень нелинейного уравнения методом Ньютона. Исходя из этого, можно сделать вывод, что цель достигнута, так как для ее осуществления были решены следующие задачи:
1.Изучена необходимая литература.
2.Обзорно рассмотрены существующие методы по решению нелинейных уравнений.
3.Изучен метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.
4.Рассмотрено решение нелинейных уравнений методом Ньютона на примере.
5.Проведены тестирование и отладка программы.
Список используемой литературы
1. Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.
2. В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.
3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.
4. Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.