Использование Excel для решения статистических задач (стр. 2 из 2)
Вариант 15 Коммерческий магазин хочет закупить овощи А и В. Количество овощей, закупочные цены и цены, по которым магазин продает овощи, приведены в таблице 8.
Таблица 8
| Овощи | Цены | Количество овощей | |
| Закупка | Реализация | ||
| А | 1,6 | 2,4 | 60 |
| В | 1,7 | 2,2 | 70 |
Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагается магазин в данное время, составляет 180 д.е., причем овощей А нужно приобрести не менее 10 тонн.
Решение
Решение данной задачи состоит из трех основных этапов:
1. составление математической модели (формализация задачи);
Обозначим величину прибыли от овоща А как А, а величину прибыли от обоща В как В, тогда получим, что прибыль от продажи овоща А составляет (2,4–1,6) А, соответственно овоща В – (2,2–1,7) В. Суммарная прибыль магазина от продажи овощей составит (2,4–1,6) А+(2,2–1,7) В=0,8А+0,5В.
Тогда целевая функция имеет вид Z=0,8А – 0,5В
суммарная прибыль должна быть наибольшей (максимальной).
Данная задача содержит две неизвестных переменных, т.е. ее можно назвать плоской и она может быть решена графически.
Составим систему ограничений, исходя из условия задачи:
- ограничение на покупку овощей по деньгам:
На покупку овоща А расходуется 1,6 д.е на 1 тонн. На все количество овоща А расходуется 1,6 А д.е. На овощ В расходуется 1,7 д.е. на 1 тонну на закупку овоща В тратят 1,7 В. Значит, исходя из условия задачи, суммарная сумма на которую закупаются овоща не должна превышать 180 д.е. Получим первое неравенство системы:
1,6 А + 1,7 В ≤ 180;
– дополнительные условия:
В условии задачи содержится дополнительное условие – закупка овоща А не менее 10 тонн и не более 60 тонн. т.е. имеем дополнительные неравенства для овоща А:
А ≥ 10;
А ≤ 60;
Для овоща В наложено верхнее ограничение не более 70 тонн, из условия задачи понятно что нижним ограничение является 0. Получаем дополнительные неравенства для овоща В:
В ≥ 0;
В ≤ 70;
Получили математическую модель задачи:
1,6А + 1,7В ≤ 180;А ≥ 10; А ≤ 60;
В ≥ 0; В ≤ 70;
2. решение формализованной задачи;
Решив задачу графически и с использованием пакета Excel, получим одинаковое решение:
А = 60 тонн.
В = 49,412 тонн.
Ход решения – см. таблица 9 и рисунок 3
Вывод: Для получения максимальной прибыли в размере 72,7 ден. ед. необходимо следующим образом потратить существующие деньги:
- овощ А закупить в количестве 60 тонн.
- овощ В закупить в количестве 49,412 м.
При этом необходимо потратит все деньги: 180 д.е.
Графическое решение задачи 4
Необходимо найти значения (А, В), при которых функция Z=0,8 А – 0,5 В достигает максимума. При этом А и В должны удовлетворять системе ограничений, приведенной ранее:
1,6А + 1,7В ≤ 180;А ≥ 10; А ≤ 60;
В ≥ 0; В ≤ 70;
Решение
1. Строим область, являющуюся пересечением всех полуплоскостей, уравнения которых приведены в системе ограничений. Например, полуплоскость 1,6А + 1,7В ≤ 180; представляет собой совокупность точек, лежащих ниже прямой, соединяющей точки с координатами (65; 44,705) и (32,813; 75). Аналогично – остальные. Построение – рисунок 3.
2. Находим градиент функции Z.
gradz = {0,8; 0,5}
Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (0,8; 0,5).
Построение – рисунок 3.
3. Строим прямую, перпендикулярную вектору градиента. Так как по условию мы ищем максимум функции Z, то передвигаем прямую в направлении указанном вектором. Точка максимума – последняя точка области, которую пересечет эта прямая. В нашем случае, искомая точка лежит на пересечении прямых А=60 и 1,6 А + 1,7 В = 180;
Построение – рисунок 3
4. Решаем систему уравнений
А=60;1,6А + 1,7В = 180; В = 49,412;
Т.е графическое построение дало результат (60; 49,412).
Максимальное значение функции Z = 0,8*60+0,5*49,412=72,7.
Рисунок 3 – Графическое решение задачи 4
Решение задачи 4 с использованием пакета Excel
В пакете Excel решение задачи линейного программирования осуществляется с помощью пункта меню Сервис – Поиск решения.
Распечатка решения задачи в Excel приведена в таблице 9.
Формулы, по которым был произведен расчет, приведены в таб. 10.
Таблица 9 – Решение задачи в Excel
| Переменные | ||||||
| A | B | |||||
| Значения | 60 | 49.412 | ||||
| Нижняя граница | 10 | 0 | ||||
| Верхняя граница | 60 | 70 | ||||
| Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B | 0.8 | 0.5 | 72.706 | max | ||
| Коэффициенты целевой функции | ||||||
| Коэффициенты | Значение | Фактические ресурсы | Неиспользованные ресурсы | |||
| Система ограничений | 1.6 | 1.7 | 180 | <= | 180 | 0 |
Таблица 10 – Формулы для расчета в Excel
| Переменные | |||||||||
| A | B | ||||||||
| Значения | 60 | 49.412 | |||||||
| Нижняя граница | 10 | 0 | |||||||
| Верхняя граница | 60 | 70 | |||||||
| Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B | 0.8 | 0.5 | =СУММПРОИЗВ(B3:C3; B6:C6) | max | |||||
| Коэффициенты целевой функции | |||||||||
| Коэффициенты | Значение | Фактические ресурсы | Неиспользо-ванные ресурсы | ||||||
| Система ограничений | 1.6 | 1.7 | =СУММПРОИЗВ(B3:C3; B10:C10) | <= | 180 | =F10‑D10 | |||
Список используемой литературы
1.Финансово-экономические расчеты в Excel. – 2-е изд., доп. – М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2005. – 184 с.
2.Методический указания и контрольные задания по дисциплине «Информатика» для студентов заочного факультета экономического направления обучения. Ч. 3/ Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, О.А. Медведева. – ДГМА, 2006 – 40 стр.