Система многомасштабного анализа дискретных сигналов Подсистема вейвлет-анализа (стр. 4 из 13)

2.1.4. Математическая постановка задачи

2.1.4.1. Математическое описание задачи передискретизации сигнала

Исходный и результирующий сигналы представляют собой одномерные массивы чисел.

Целью передискретизации исходного сигнала

размером является получение сигнала размером по следующему закону:

, (2.2)

где

– индекс элемента в исходном сигнале, участвующего в вычислении -го элемента результирующего сигнала;

, – исходный сигнал;

, – передискретизированный сигнал;

– модуль (длина) вектора;

– взятие целой части.

2.1.4.2. Математическое описание задачи перемножения сигнала и вейвлета

Анализируемый сигнал и вейвлет представляют собой массивы чисел. Размер вейвлета должен быть меньше размера сигнала, иначе результатом перемножения будет массив из нулей. Перемножение сигнала и вейвлета происходит следющим образом: вейвлет сдвигается в некоторую точку

и усредняет в данной точке значение сигнала по следующей формуле:

(2.3)

где

, – исходный сигнал;

, – вейвелет;

– модуль (длина) вектора.

Полученное усреднение располагается в результате со смещением, равным половине размера вейвлета

, следовательно, элементы, расположенные по краям результата на будут равны нулю.

2.1.4.3. Математическое описание задачи вейвлет-анализа

Собственно сам вейвлет-анализ представляет собой процесс последовательного масштабирования исходного вейвлета и перемножения его с сигналом. В отличие от предыдущей задачи в качестве результата мы будем иметь не массив чисел, а матрицу, функция расчета точек которой уже зависит от двух параметров:

, (2.4)

где

, – исходный сигнал;

, – вейвлет с маштабом ;

– модуль (длина) вектора.

Масштаб

уменьшается от до 1.

2.2. Описание алгоритма передискретизации сигнала

2.2.1. Назначение и характеристика алгоритма передискретизации сигнала

Данный алгоритм предназначен для масштабирования дискретного сигнала (в частности вейвлета). Суть масштабирования заключается в изменении шага дискретизации с соответствующим усреднением значения сигнала.

2.2.2. Используемая информация

При реализации алгоритма используются размерные характеристики исходного и результирующего сигнала, а также собственно значения исходного сигнала.

2.2.3. Результаты решения

Результатом решения является сигнал, полученный из исходного путем масштабирования. Полученный сигнал отличается от исходного тем, что его значения представлены вещественными, а не целыми числами.

2.2.4. Математическое описание алгоритма передискретизации сигнала

Математическое описание передискретизации сигнала приведено в п.

2.1.4.1. Результирующий сигнал рассчитывается по формуле (2.2).

Пример передискретизации сигнала изображен на рис. 2.1.

Пример передискретизации сигнала

а – дискретизация сигнала на 9 интервалов

б – дискретизация сигнала на 7 интервалов

Рис. 2.1

2.2.5. Алгоритм передискретизации сигнала

1. i ::= 0; offs ::= 0;

2. Если i ≥ res_size, то переход к п. 7;

3. res_i ::= 0; j :: = 0;

4. Если j ≥ src_size, то переход к п. 6;

5. res_i ::= res_i + src_{](offs + j) / res_size[}; j ::= j + 1; переходкп. 4;

6. res_i ::= res_i / src_size; i ::= i + 1; offs ::= offs + src_size; переходкп. 2;

7. Конец.

2.2.6. Требования к контрольному примеру

Контрольный пример должен содержать результаты передискретизации сигнала в масштабах от исходного размера до 1.

2.2.7. Список условных обозначений

Алгоритм использует следующие условные обозначения:

src – исходный сигнал;

src_size – размер исходного сигнала;

res – передискретизированный сигнал;

res_size – размер результата передискретизации;

][ – взятие целой части.

2.3. Описание алгоритма перемножения сигнала и вейвлета

2.3.1. Назначение и характеристика алгоритма перемножения сигнала и вейвлета

Данный алгоритм предназначен для усреднения значений сигнала с использованием вейвлета определенного масштаба. Усреднение заключается в анализе каждого значения сигнала в его окрестностях, причем размер окрестностей и есть ни что иное, как размер вейвлета.

2.3.2. Используемая информация

При реализации алгоритма используются размерные характеристики сигнала и вейвлета, а также их значения.