Дискретно-аналоговое представление (стр. 3 из 4)
где
- символ произведения, в котором отсутствуют сомножители при 
. Нетрудно убедиться, что 
при 
и 
при 
.При интерполяции по Лагранжу требуется определенным образом выбрать интервал обработки
.1) Число точек опроса n четное (рисунок 7).
Рисунок 7
2) Число точек опроса n нечетное (рисунок 8).
Рисунок 8
Запишем момент времени, в котором ищется интерполяционная оценка в виде
, (22)где
- точка отсчета, 
- период опроса, 
- безразмерное время, которое может непрерывно изменяться в пределах 
, при 
(23) 
, при 
, 
(24)На практике интерполяция по Лагранжу используется при n = 1, 2, 3:
1. Ступенчатая интерполяция (полиномы нулевой степени) (рисунок 9).
В этом случае n = 1 и для интерполяции используется лишь одна выборка
, 
, 
и 
. 
Рисунок 9
2. Линейная интерполяция (полиномы первой степени) (рисунок 10).
При этом
, 
, 
и интерполирующие функции имеют вид 
, 
. 
Рисунок 10
3. Квадратичная интерполяция (квадратичная интерполяция) (рисунок 11).
При этом
, 
, 
и интерполирующие функции имеют вид
, 
, 
. 
Рисунок 11
Можно показать, что верхние оценки относительных ошибок в этом случае равны
, 
, 
,где
- граничная частота спектра сигнала, 
- частота опроса.При
и 
частота опроса 
, 
, 
.При восстановлении функции по отсчетам обычно получается плавная кривая, поэтому, можно для практических расчетов выбрать частоту опроса по формуле
. Определим частоту опроса первичного сигнала при среднем квадратическом приближении алгебраическими полиномами. Используем показатель верности оценки
в форме интегральной средней квадратической ошибки 
. (26)Более удобно использовать приведенный показатель верности:
. (27)Применим эту формулу для определения частоты опроса четырех моделей первичного сигнала:
Модель 1. Сигнал с ограниченным равномерным спектром (рисунок 12).
Рисунок 12
Применяя косинус преобразование Фурье от
, получим функцию корреляции этого сигнала: 
. (28)Модель 2. Сигнал с треугольным спектром (рисунок 13).
, 
. 
Рисунок 13
Эффективная ширина спектра в этом случае имеет вид
,а функция корреляции равна
. (29)Модель 3. Сигнал марковского типа (рисунок 14).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
,а функция корреляции равна
. ( 30)
Рисунок 14
Модель 4. Сигнал с колокольным спектром (рисунок 15).
Энергетический спектр этого сигнала описывается соотношением
,где
,а функция корреляции равна
. (31) 
Рисунок 15
Эти модели охватывают значительную часть практически используемых сигналов и являются стационарными случайными процессами. Применяя для этих моделей интерполяцию по Лагранжу при
получим следующие формулы (таблица 1) для расчета величины ж = 
.В случае модели 1 и идеальной интерполяции, т.е. при опросе по В.А. Котельникову, ж = 1. Формулы, приведенные в таблице используются для определения частоты опроса
= ж 
.Таблица 1
| Модель | ж = | ||
| 1 | n = 1 | n = 2 | n = 3 |
 |  |  | |
| 2 |  |  |  |
| 3 |  |  |  |
| 4 |  |  |  |
Построим графики зависимости ж от показателя верности
для различных моделей сигналов (рисунки 16, 17).