Исследование линейных систем управления (стр. 4 из 5)
Рис. 14.ЛФЧХ звена
Как видно из графиков звено
интегрирующее так как создает запаздывание выходной величины на всех частотах на 
, а наклон ЛАЧХ равен 
. 2. Нахождение
, 
, 
, 
1) Найдем передаточную функцию разомкнутой системы
Рис. 11. Структурная схема передаточной функции разомкнутой системы
2) Найдем передаточную функцию замкнутой системы 
Рис. 12. Структурная схема передаточной функции замкнутой системы
3) Найдем передаточную функцию по ошибке
Также её называют передаточной функцией ошибки по задающему воздействию.
Рис. 13. Структурная схема передаточной функции по ошибке
4) Найдем передаточную функцию по внешнему воздействию
Рис. 14. Структурная схема передаточной функции внешнему воздействию
3. Нахождение АЧХ и ФЧХ для найденной 
, а так же построение ЛАЧХ и ФЧХ
Найдем АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ для 
Найдем комплексную АЧХ системы
, для этого заменим 
на 
Обозначим А=
, а В= 
Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):
Найдем фазочастотную характеристику (ФЧХ):
Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):
Построим ЛАЧХ и ФЧХ для
:
Рис. 15. АФЧХ звена
Рис. 16. ЛФЧХ звена
Исследование на устойчивость по критериям Гурвица, Михайлова и Найквиста
Исследование по критерию Гурвица:
Сложим числитель и знаменатель передаточной функции 
приравняем полученное уравнение к нулю. Полученное уравнение называется характеристическим уравнением и запишется как
где
Из уравнения видно, что все коэффициенты этого уравнения больше нуля.
Теперь составляем определитель 2-го порядка:
Составляем следующий определитель на ранг меньше предыдущего. Он определяется путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов.
Т.к
; 
и 
(все определители больше нуля), то данная система устойчива.2) Исследование
на устойчивость по критерию МихайловаПредставим характеристическое уравнение 2-го порядка для данной передаточной функции в виде характеристического вектора
. Данный вектор получается заменой оператора 
на 
. Уравнение данного вектора будет иметь вид: 
где
Пусть
– действительная составляющая 
– мнимая составляющаяТогда
где
Для нашего уравнения получаем:
Таблица 1
 |  |  |
| 0 | 12 | 0 |
| 1 | 11,3 | 1 |
| 2 | 9,2 | 2 |
| 4 | 0,8 | 4 |
| 5 | -5,5 | 5 |
| 10 | -58 | 10 |
Рис. 17. Изображение характеристического вектора
Из графика видно, что зависимость уходит в
во 2-м квадранте. Полученный график подтвердил устойчивость системы по критерию Михайлова.Исследование на устойчивость по критерию Найквиста
Критерий Найквиста мы реализуем на комплексной плоскости. Если АЧХ разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0), то система является устойчивой. Если АЧХ охватывает эту точку, то система – неустойчивая. Если проходит через эту точку, то система находится на границе устойчивости.
Таблица 2
| |  |  |
| 0 | -8,4 | -1,57 |
| 0,5 | -9,57 | -1,23 |
| 1 | -16,47 | -0,96 |
| 5 | 0,47 | -0,27 |
| 10 | 0,175 | -0,14 |
По полученным данным построим диаграмму Найквиста
Рис. 18. диаграмма Найквиста
Как видно из построенного графика АЧХ разомкнутой системы на комплексной плоскости не охватывает точку с координатами (-1; j0). Следовательно можно сделать вывод, что система устойчивая. А расстояние от этой кривой до точки (-1; j0) есть запас устойчивости.