Исследование линейных систем управления (стр. 3 из 5)
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ωср, на которой A(ωср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной, которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.
Рис. 6.АФЧХ абсолютно устойчивой системы
Точность линейных САУ
Устойчивость САУ является важной, но не полной характеристикой работы системы. Кроме устойчивости система должна обладать требуемой точностью и требуемым качеством переходных процессов. Установившийся режим может быть статичен и динамичен. Статический режим – это режим, при котором входное воздействие после появления остается неизменным. Динамический установившийся режим – это режим, при котором входное воздействие изменяется по какому-то закону.
С точки зрения точности работы системы они могут быть статическими и астатическими.
Астатические системы могут быть I, II, III и т.д. порядка (определяется количеством интегрирующих звеньев). Что касается установившейся ошибки Δхуст, то в соответствии с принципом суперпозиции равна:
где Δхвх – ошибка входного воздействия,
Δхfj – ошибка от возмущающего воздействия,
n – количество возмущающих воздействий.
Составленные ошибки могут определяться по теории о конечном значении функции, по реакции на типовые воздействия и по коэффициенту ошибок.
Оценка точности по коэффициенту ошибок
Для определения ошибки воспользуемся выражением для передаточной функции замкнутой системы по ошибке:
Разложим в ряд по возрастающей степени:
,где С0, С1,…, Сn – коэффициенты ошибок.
При малых значениях
этот ряд сходится. Коэффициенты ошибок могут быть найдены или по формуле Тейлора или путем деления многочлена числителя на знаменатель передаточной функции 
.Если использовать формулу Тейлора:
Подставим выражение для
в выражение для 
: 
Сделаем обратное преобразование Лапласа:
Таким образом, получим, что статическая ошибка по входному воздействию будет определяться коэффициентом ошибок и характером изменения и величиной входного воздействия. Если хвх = const, то из этой формулы достаточно взять один первый член.
Если входное воздействие медленно изменяющаяся функция, то надо взять несколько первых членов.
Аналогично рассуждая можно показать, что ошибка по возмущающему воздействию xf(t) будет определяться:
Показатели качества САУ
Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса.
Рис. 7. Переходная функция и показатели качества
Используются следующие прямые показатели качества:
1) величина перерегулирования s,
которая характеризует максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, которое может быть определено в соответствии с теоремой о конечном значении оригинала
2) время переходного процесса или время регулирования tp – наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство
где D – заданная величина, обычно лежащая в пределах D=0.02–0.05;
3) статическая ошибка eсm – величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x(¥) от требуемого значения N
или
где E(s) – изображение ошибки;4) время установления ty – промежуток времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения.
Для определения качества системы могут использоваться и другие показатели, соответствующие решаемой задаче, например, число колебаний регулируемой величины за время регулирования, частота и период колебаний и т.д.
Практическая часть
1. Нахождение АЧХ и ФЧХ для 
и 
, построение ЛАЧХ
Найдём АЧХ и ФЧХ для :
, где 
– оператор дифференцирования (Лапласа)Заменим
на 
и найдем комплексную АЧХ системы 
. 
Обозначим
-действительную часть передаточной функции 
, а 
-мнимую часть 
, 
Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):
Найдем фазо-частотную характеристику (ФЧХ):
Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):
Построим найденные характеристики в математическом пакете MathCAD 2000:
Рис. 8.ЛАЧХ звена
Рис. 9 ЛФЧХ звена
Из графика видно, что звено
относится к инерционным звеньям и вносит запаздывание выходной величины от 
на низких частотах до 
высоких и имеет наклон 
.Выполним теже действия для звена
Так как действительная часть передаточной функции равна 0, то
АЧХ запишется так:
Найдем фазочастотную характеристику (ФЧХ):
Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):
Построим найденные характеристики:
Рис. 10. ЛАЧХ звена
