Исследование линейных систем управления (стр. 2 из 5)

3)

– передаточная функция рассчитанная из условия Dх(р)/х_вх(р) при отброшенном возмущающем воздействии.

4) Ф_F(р) – определяется при отброшенном воздействии х_вх(р).

Все передаточные функции однозначно связанны между собой передаточной функцией разомкнутой системы W(p), следовательно, о качестве САУ можно судить по передаточной функции W(p). В свою очередь передаточная функция разомкнутой системы определяется передаточными функциями и параметрами отдельных элементов входящих в ее состав. Поэтому важно знать характеристики отдельных элементов и звеньев.

Устойчивость САУ

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САУ. Устойчивость САУ связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= y_B(t) + y_n(t)
где y_B(t) – решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); y_n(t) – установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) – решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы – это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой. Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения):

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +… + a_n = 0

Переходная составляющая решения уравнения в общем виде y_ni(t) = A_ie^α_i^t * sin(β_it + φ_i), где α_i ± jβ_i – корни характеристического уравнения; A_i,Φ_i – постоянные.

При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней α_i отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает.

Рис. 2. Графики переходных составляющих

Пара мнимых корней (α_i=0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Рис. 3. Расположение корней САУ на комплексной плоскости

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста).

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при анализе САУ. Первоначально, из коэффициентов уравнения составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения, начиная с

. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз – уменьшались.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при

все угловые определители (миноры) были также положительными.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δ_n=a_n*Δ_n-1. Поэтому его положительность сводится при Δ_n-1>0 к условию a_n>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов

. Если определитель Δ_n=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δ_n-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ.

Частотный критерий устойчивости Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1+ … +a_n

Уравнение является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении частоты от 0 до

. Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< .

Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до +

равнялось n.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до

, начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае U(ω) = 0 и V(ω) = 0.

Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис. 4 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.

Рис. 4. Годографы Михайлова

Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений U(ω) = 0 и V(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.

Частотный критерий устойчивости Найквиста, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется так:

если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до

не охватывала точку с координатами -1, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1, j0, то система будет нейтральной. На рис. 5 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

Рис. 5.АФЧХ разомкнутых САУ

Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.