Інтегрування Нютона-Котеса (стр. 2 из 4)

Точність квадратурних формул з фіксованим розташуванням рівновіддалених вузлів обмежена можливостями використовуваних методів інтерполяції.

Формула Чебишева. Формула (2) може бути зведена до вигляду

(8)

шляхом заміни змінної

.

При виводі формули Чебишева використовуються наступні умови: коефіцієнти

рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для всіх поліномів до степені включно. Враховуючи‚ що і при , отримаємо . Тоді формула (8) матиме вигляд

.(9)

Для знаходження

необхідно розв'язати систему нелінійних рівнянь

(10)

Система рівнянь (10) має розв'язок при

. Значення абсцис в формулі Чебишева наведено в таблиці 2. Обмежена точність і є принциповим недоліком формули Чебишева.

Таблиця 2. Значення абсцис

в формулі Чебишева

2	1; 2	0,577330	6	1;6 2;5 3;4	0,866247 0,422519 0,266635
3	1; 3 2	0,707107 0
4	1; 4 2; 3	0,794654 0,187592	7	1;7 2;6 3;5 4	0,883862 0,529657 0,323912 0
5	1; 5 2; 4 3	0,832498 0,3745413 0

Формула Гауса. Формула Гауса називається формулою найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степені

‚які визначаються константами та .

Дійсно‚ вважаючи‚ що

може бути апроксимованою поліномами степені

‚

Отримаємо

.

Для знаходження цих сталих отримуємо систему рівнянь

(11)

Ця система є нелінійною і її розв'язування звичайними методами пов'язано зі значними труднощами. Однак‚ якщо використати систему для поліномів виду

‚(12)

де

- поліном Лежандра‚ то її можна звести до лінійної системи відносно коефіцієнтів із заданими точками .

Поліномами Лежандра називаються поліноми виду

.

Перші п'ять поліномів Лежандра мають вигляд

Оскільки степені поліномів у співвідношенні (12) не перевищують

‚ то повинна виконуватись система (11) і формула (8):

.

Внаслідок властивості ортогональності ліва частина останньої рівності дорівнює нулю‚ тоді

‚

що завжди забезпечується при довільних значеннях

в точках ‚ які відповідають кореням відповідних поліномів Лежандра.

Підставивши ці значення

в систему (11) і враховуючи перші n рівнянь‚ можна легко визначити коефіцієнти .

Формула (8)‚ де

- нулі поліному Лежандра ‚ а визначаються з системи (11)‚ називається формулою Гауса.

Таблиця 3. Елементи формули Гауса.

1	1	0	2
2	1; 2	0,57735027	1
3	1;3 2	0,77459667 0	0,55555556 0,88888889
4	1;4 2;3	0,86113631 0,33998104	0,34785484 0,65214516
6	1; 6 2; 5 3; 4	0,93246951 0,66120939 0,23861919	0,17134250 0,36076158 0,46791394
7	1; 7 2; 6 3; 5 4	0,94910791 0,74153119 0,40584515 0	0,12948496 0,27970540 0,38183006 0,41795918
8	1; 8 2; 7 3; 6 4; 5	0,96028986 0,79666648 0,52553142 0,18343464	0,10122854 0,22238104 0,31370664 0,36268378

В таблиці 3 подано значення

та для формули Гауса для різних від 1 до 8.

Стандартні програми‚ які використовують формули Гауса з різним числом вузлів як формули‚ що забезпечують найкращу точність‚ входять до складу багатьох пакетів програм для наукових та інженерних розрахунків.

2. Практична частина

2.1 Архітектура програми

Для реалізації поставленої задачі розроблено програму INTEGRALY.PAS (лістінг програми представлено в додатку 4).