Построение математических моделей методом идентификации (стр. 3 из 5)
Объект описан дифференциальным уравнением:
Требуется:
1. Записать модель объекта в пространстве состояний.
2. Записать модель объекта в форме передаточной функции.
3. Получить частотные характеристики объекта.
2.2 Математическая постановка задачи
Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида:
(2.1)где u(t) – входной процесс, y(t) – выходной процесс, ai, bj – постоянные коэффициенты, n, m (n>m)– постоянные числа. В операторной форме выражение (2.1) может быть записано
.Здесь D – оператор дифференцирования
. Отсюда преобразование “вход-выход” системы:где W(D) называется операторной передаточной функции.
Один из способов моделирования систем заключается в представлении преобразования “вход-выход” в виде комплексной передаточной функции:
которая получается путем применения преобразования Лапласа к (2.2) ри начальных нулевых условиях. Здесь s-комплексная переменная. Связь между операторной (2.2) и комплексной (2.3) передаточными функциями можно записать в виде:
Комплексные числа, являющиеся корнями многочленаВ(s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A(s) – полюсами.
Явный вид связи входа и выхода определяется выражением:
где w(t) – оригинал (т.е. полученный с помощью обратного преобразования Лапласа) комплексной передаточной функции W(s).
Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и d-функцию (дельта-функцию).
Пусть u(t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая:
График функции Хевисайда приведен на рис. 2.1а:
а) 
б)Рис.2.1. Функции Хевисайда (а) и Дирака (б)
Реакция САУ на единичный скачек называется переходной функцией системы и обозначается h(t).
Если u(t) = d(t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (d-функция, импульсная функция, рис. 2.1б) определяемая:
то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w(t). Таким образом оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию систему на импульс.
Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением:
Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.
Пусть на вход системы с передаточной функцией W(s) подается гармонический сигнал u(t) = aucos(wt), t>0. В этих условиях справедлива следующая теорема:
Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y(t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой ay = au |W(iw)| и относительным сдвигом по фазе y = argW(iw).
Таким образом, выход определяется гармонической функцией
y(t) = au |W(iw)| cos(w t + argW(iw)),(2.9)
где i – комплексная единица,
– частотная характеристика.При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде:
где
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); – фазово-частотная характеристика (ФЧХ); – вещественная частотная характеристика (ВЧХ); – мнимая частотная характеристика (МЧХ).Геометрическое место точек W(iw) на комплексной плоскости при изменении w от w0 до от w1 (обычно w0 = 0, w1 =
), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w .
2.3 Результаты выполнения задания
Выполняем анализ с помощью пакета прикладных программ MatLab
Передаточная функция имеет вид:
Полюса передаточной функции:
-13.8796
-0.5602 + 1.4614i
-0.5602 - 1.4614i
Нули передаточной функции:
-35.7482
-0.2518
При помощи команды step(w) строим переходную функцию h(t) рис2.2
Рис.2.2. Переходная функция h(t)
При помощи команды impulse(w) строитьсяимпульсная переходная функция w(t) рис2.3:
Рис. 2.3. Импульсная переходная функцияw(t)
При помощи команды bode(w) строим Диаграмму Боде рис 2.4:
Рис.2.4. Диаграмма Боде
АФХ системы он жегодограф НайквистаW(iw), строится при помощи команды nyquist(w):
Рис. 2.5. Годограф Найквиста
Текст расчетов в MatLab
>> w= TF([1,36,9],[1,15,18,34])
Transfer function:
s^2 + 36 s + 9
------------------------
s^3 + 15 s^2 + 18 s + 34
>>pole(w)
ans =
-13.8796
-0.5602 + 1.4614i
-0.5602 - 1.4614i
>>zero(w)
ans =
-35.7482
-0.2518
>>step(w)
>>impulse(w)
>>bode(w)
>>nyquist(w)
>>ltiview(w)
Рисунок 2.6 – Блок-схема программы исследования характеристик динамической системы
Задание 3. Построение модели с распределенными параметрами
3.1 Постановка задачи
Применение метода конечных разностей для расчета теплового режима твердой стенки
Плоская стенка первоначально прогрета равномерно до температуры 600С. В дальнейшем на внутренней поверхности стенки (х = 0) обеспечивается условие теплоизоляции (плотность теплового потока равна нулю), а с наружной поверхности (х = L) идет теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру Тср = -40 0С.. Изменение температуры в стенке осуществляется в результате процесса теплопроводности. Требуется получить зависимость от времени температуры на внутренней поверхности стенки. Толщина стенки L=20смб коэффициент теплоотдачи α=100Вт/м2К (неявная схема).
3.2 Математическая постановка задачи
Для неявной разностной схемы апроксимация уравнения теплопроводности будет иметь следующий вид:
(3.1)Теперь удобно ввести
и в левой и правой части сгруппировать все члены с индексрмj+1: 
(3.2)Известная функция u(i,j) связана функциональной зависимостью с тремя неизвестными функциями на последующем слое. Для заданного временного слоя такие уравнения надо записать для всех внутренних точек i=2….n-1 и дополнить их граничными условиями i=1,n. Тогда получим систему с трех диагональной матриц неизвестных членов, которая решается с помощью метода прогонки.
Так как в задаче заданна температура окружающей среды, то имеем граничные условия 3-го рода. Запишем уравнения для граничных и внутренних точек одного временного слоя.
Для i=1, имеем:
(3.3) 
(3.4)Обозначим
, 
, получим уравнение для i=1: 
(3.5)Для i=2…n-1, имеем:
(3.6) 
(3.7) 
(3.8)Для i=n, имеем:
(3.9) 
(3.10)Обозначим
, 
, получим уравнение для n=1: 
(3.11)Рассмотрим метод прогонки для решения системы, сотоящей из уравнений (3.5), (3.8), (3.11). Из уравнения (3.5) выразим U1,j+1:
(3.12) 
, 
(3.13)Запишем уравнение для i=2 (3.8) и подставим в него выражение (3.12) и выразим U2,j+1:
(3.14) 
(3.15) 
(3.16)