Построение математических моделей методом идентификации (стр. 2 из 5)
.(1.12)Если ранг F равен k, то ранг
то же равенk, так как из теории матриц известно, что произведение матриц 
есть положительно определенная матрица.При этих условиях можно получить матрицу, обратную к информационной. Обозначим ее
. Поскольку 
, умножение выражения (1.12) слева на матрицу 
приводит к решению системы нормальных уравнений: 
.(1.13)Таким образом, решив матричное уравнение (1.13), мы получаем в векторе b значение коэффициентов регрессии.
В случае неравноточных измерений значений входных величин применяется взвешенный метод наименьших квадратов. Данный метод отличается тем, что в матричное уравнение добавляется так называемая матрица весов. Матрица весов представляет собой диагональную матрицу, элементами которой являются величины, обратно пропорциональные квадрату дисперсии измерений входных величин:
Для взвешенного метода наименьших квадратов матричное уравнение имеет вид:
.(1.14)Для полученных коэффициентов регрессии доверительный интервал определяется таким образом:
,(1.15)где V(b) – дисперсия коэффициентов,
- коэффициент Стьюдента. Коэффициент Стьюдента определяется по таблицам. Для нашего случая он равен 2,5. Дисперсия коэффициентов определяется по следующей формуле: 
,(1.16)где S – дисперсия оценки. Определяется следующим образом:
,(1.17)Таким образом получим значения коэффициентов регрессии в виде
.1.3 Результаты выполнения задания
Метод наименьших квадратов
| Y= | D= | W=DT= | |||||
| 1 | 1 | 1 | 4,1 | 0,8 | 1,25 | ||
| -2 | 2 | 5 | 31,2 | 1,2 | 0,83 | ||
| X= | 5 | -2 | 3 | 41,3 | 0,3 | 3,33 | |
| 2 | -1 | 1 | 16,5 | 0,5 | 2,00 | ||
| 3 | 2 | 1 | 3,2 | 0,2 | 5,00 | ||
| Решение без диагональной корреляционной матрицы | |||||||
| 1 | -2 | 5 | 2 | 3 | |||
| XT= | 1 | 2 | -2 | -1 | 2 | ||
| 1 | 5 | 3 | 1 | 1 | |||
| 43 | -9 | 11 | |||||
| XTX= | -9 | 14 | 6 | ||||
| 11 | 6 | 37 | |||||
| 0,032 | 0,027 | -0,014 | |||||
| (XTX)-1= | 0,027 | 0,099 | -0,024 | ||||
| -0,014 | -0,024 | 0,035 | |||||
| 190,8 | |||||
| XTY= | -26,2 | ||||
| 303,7 | |||||
| 1,24 | |||||
| B=(XTX)-1XTY= | -4,77 | ||||
| 8,61 | |||||
| y^ | y | y^-y | (y^-y)2 | ||
| 5,08 | 4,1 | 0,98 | 0,962 | ||
| 31,06 | 31,2 | -0,14 | 0,019 | ||
| Проверка | 41,56 | 41,3 | 0,26 | 0,066 | |
| 15,85 | 16,5 | -0,65 | 0,417 | ||
| 2,78 | 3,2 | -0,42 | 0,174 | ||
| Сумма | 1,639 | ||||
| Решение с диагональной корреляционной матрицой | |||||
| 1,25 | 1,25 | 1,25 | 5,13 | ||
| -1,67 | 1,67 | 4,17 | 26,00 | ||
| WX= | 16,67 | -6,67 | 10,00 | WY= | 137,67 |
| 4,00 | -2,00 | 2,00 | 33,00 | ||
| 15,00 | 10,00 | 5,00 | 16,00 | ||
| 1 | -2 | 5 | 2 | 3 | |
| XT= | 1 | 2 | -2 | -1 | 2 |
| 1 | 5 | 3 | 1 | 1 | |
| 140,92 | -9,42 | 61,92 | |||
| XTWX= | -9,42 | 39,92 | -2,42 | ||
| 61,92 | -2,42 | 59,08 | |||
| 0,013 | 0,002 | -0,014 | |||
| (XTWX)-1= | 0,002 | 0,026 | -0,001 | ||
| -0,014 | -0,001 | 0,031 | |||
| 755,46 | |||||
| XTWY= | -219,21 | ||||
| 597,13 | |||||
| 1,28 | |||||
| B=(XTWX)-1XTWY= | -4,67 | ||||
| 8,57 | |||||
| y^ | y | y^-y | (y^-y)2 | ||
| 5,18 | 4,1 | 1,08 | 1,175 | ||
| 30,95 | 31,2 | -0,25 | 0,063 | ||
| 41,47 | 41,3 | 0,17 | 0,028 | ||
| 15,81 | 16,5 | -0,69 | 0,480 | ||
| 3,08 | 3,2 | -0,12 | 0,014 | ||
| Сумма | 1,761 | ||||
Расчет доверительных интервалов
| 1 | 1 | 1 | y | y^-y | (y^-y)2 | |
| -2 | 2 | 5 | 4,1 | 0,465 | 0,216 | |
| X= | 5 | -2 | 3 | 31,2 | -0,546 | 0,298 |
| 2 | -1 | 1 | 41,3 | -0,252 | 0,063 | |
| 3 | 2 | 1 | 16,5 | -0,119 | 0,014 | |
| 3,2 | 0,371 | 0,138 | ||||
| Сумма | 0,729 | |||||
| Хср= | 1,8 | 0,4 | 2,2 | |||
| b1= | 1,235 | |||||
| b2= | -4,769 | |||||
| -0,8 | 0,6 | -1,2 | b3= | 8,614 | ||
| -3,8 | 1,6 | 2,8 | ||||
| Х-Хср= | 3,2 | -2,4 | 0,8 | |||
| 0,2 | -1,4 | -1,2 | ||||
| 1,2 | 1,6 | -1,2 | ||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 4 | 4 | 25 | ||||
| Х2= | 25 | 4 | 9 | |||
| 4 | 1 | 1 | ||||
| 9 | 4 | 1 | ||||
| Сумма | 43 | 14 | 37 | |||
| 0,64 | 0,36 | 1,44 | ||||
| 14,44 | 2,56 | 7,84 | ||||
| (X-Хcp)2= | 10,24 | 5,76 | 0,64 | |||
| 0,04 | 1,96 | 1,44 | ||||
| 1,44 | 2,56 | 1,44 | ||||
| Сумма | 26,8 | 13,2 | 12,8 | |||
| S2= | 0,243 | |||||
| V(b1)= | 0,078 | |||||
| V(b2)= | 0,052 | |||||
| V(b3)= | 0,141 | |||||
| b1 | 0,537 | |||||
| b2 | -5,337 | |||||
| b3 | 7,677 |
Метод наименьших квадратов рис 1.1
МНК график остатков рис 1.2
Задание 2. Взаимосвязь различных форм моделей динамических систем
2.1 Постановка задачи