Свободные (небазисные) переменные
Итак,
=
Примечание: При переходе от таблицы к таблице для контроля сравнивают
При использовании симплексного метода возможны следующие случаи.
1) Если в оценочной строке симплекс-таблицы оценка
2) Если при переходе от одного опорного плана к другому в разрешающем столбце нет положительных элементов, то это означает, что целевая функция ЗЛП является неограниченной и оптимальных планов не существует.
Задания для самостоятельной работы.
Определить оптимальный план задач, используя симплексный метод решения задач линейного программирования:
а) | | б) | |
Рассмотрим задачу производственного планирования. Пусть предприятие имеет m видов ресурсов объемом
План производства
Или в краткой форме записи математическая модель задачи имеет вид:
Задачу (1) – (3) называют исходной.
По исходным данным задачи (1) – (3) сформируем другую экономическую задачу.
Предположим, что предприятию разрешено на его усмотрение реализовать все указанные ресурсы. Необходимо установить цены на них –
– покупатель стремится минимизировать их общую стоимость;
– предприятие согласно продать по ценам, дающим прибыль не меньшую, чем выручка, которую оно может получить от реализации изготовленной продукции.
Эти требования можно записать в виде следующей ЗЛП:
Или в краткой форме записи:
Полученную задачу (4) – (6) называют двойственной. Переменные
Задачи (1) – (3) и (4) – (6) называют парой взаимно двойственных симметричных задач, т. к. они обладают следующими свойствами:
1. Если в одной задаче ищется максимум целевой функции, то в другой – минимум.
2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются правыми частями ограничений другой задачи и, наоборот.
3. В каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем все они одного смысла: если задача на max, то все неравенства содержат знаки «
4. Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.
5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи равно числу переменных другой задачи.
6. Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.
Примечание: Понятие «прямой» и «двойственной» задач условно.
Используя свойства (1–6), покажем на конкретном примере построение двойственной задачи.
Пример. Пусть исходная задача имеет вид:
Нужно составить к ней двойственную.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы ограничений и транспонируем ее.
1 | –1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 5 | 11 | 2 | |
2 | 1 | –3 | 4 | АТ= | –1 | 1 | –1 | 1 | 3 |
А = | 5 | –1 | 1 | 3 | 2 | –3 | 1 | 2 | 1 |
11 | 1 | 2 | 1 | 2 | 4 | 3 | 1 | min | |
2 | 3 | 1 | max |
Теперь запишем двойственную задачу по АТ с переменными
Пример. К заданной задаче записать двойственную:
Решение. Так как задача на min, то все неравенства должны иметь знаки «
Запишем матрицы А и АТ.
1 | 1 | 1 | 1 | –2 | 5 | ||
А = | –2 | –3 | –5 | АТ= | 1 | –3 | 2 |
5 | 2 | min | 1 | –5 | max |
Двойственная задача: