| 2 | 19 | 10 | , | 12 | 10 |
Рисунок 1 – Двадцатеричное представление числа 1190,62510
Полученное двадцатеричное число содержит пять значащих двадцатеричных цифр.
2.2 Перевод десятичной дроби 0,110 в системы счисления с основаниями 2, …, 9 представлены в таблице 1
Таблица 1 – Перевод из десятичной системы счисления
| Основание системы | Исходное число | Полученный перевод числа |
| 2 | 0,1 | 0,0(0011) |
| 3 | 0,1 | 0,(0022) |
| 4 | 0,1 | 0,0(12) |
| 5 | 0,1 | 0,0(2) |
| 6 | 0,1 | 0,0(3) |
| 7 | 0,1 | 0,0(4620) |
| 8 | 0,1 | 0,0(6314) |
| 9 | 0,1 | 0,(08) |
Дробная часть числа в системе с основанием В есть позиционная дробь 0, а –1 а –2…а –к, записанная цифрами этой системы счисления и обозначающая сумму
а –1 В –1 + а –2 В –2 + … + а –к В –к, (9)
где a –1 - первый член дробной части числа;
В –1 – основание позиционной системы в степени первого члена дробной части числа;
a –2 - второй член дробной части числа;
В –2 – основание позиционной системы в степени второго члена дробной части числа;
a –к - к-тый член дробной части числа;
В –1 – основание позиционной системы в степени к-того члена дробной части числа, которая лежит в промежутке от 0 до 1. Значение цифры а –1 можно извлечь путем умножения величины (9) на основание В. Результат умножения составляет величину а –1 + а –2 В –1 + … + а –к В –к + 1, и его целая часть представляет собой искомое значение цифры а –1. Вычитая целую часть, вновь получим величину между нулем единицей, из которой таким же путем можно будет извлекать следующие цифры. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена нулевая дробная часть или пока не будет достигнута приемлемая точность представления дроби.
2.3 Перевод десятичной дроби 0,1 10 в систему счисления с основаниями В=9 представлен на рисунке 2
| 0 | , | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 7 | 3 | 8 |
Рисунок 2 – Девятеричное представление числа 0,110
| 7 | 3 | 8 |
Три неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 10 в системы счисления с основаниями 9.
Перевод десятичной дроби 0,1 10 в систему счисления с основаниями В=11 представлен на рисунке 3
| 0 | , | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 10 | 10 |
Рисунок 3 – Представление числа 0,110 в системе с основанием В=11
| 5 | 1 | 10 | 10 |
Четыре неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 10 в систему счисления с основанием 11.
Перевод десятичной дроби 0,1 10 в систему счисления с основаниями В=12 представлен на рисунке 4
| 0 | , | 1 | 2 | 4 | 9 | 7 | 2 | 4 | 9 | 7 | 2 | 4 | 9 | 7 | 2 | 5 | 0 | 4 | 0 | 6 | 0 |
Рисунок 4 – Представление числа 0,110 в системе с основанием В=12
| 5 | 0 | 4 | 0 | 6 | 0 |
Шесть неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 10 в систему счисления с основанием 12.
2.4 На рисунке 5 изображен перевод из десятичной системы счисления числа 999999999 в систему с основанием В=9
| 2 | 5 | 2 | 0 | 6 | 0 | 7 | 1 | 0 | 0 |
Рисунок 5 – Девятеричное представление числа 99999999910
Появление в конце числа двух нулей объясняется соблюдением признака делимости на 9: число делится на 9 тогда и только, когда сумма его цифр делится на 9, как показано ниже:
9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 81;
81 / 9 = 9 остаток 0
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
9 / 9 = 1 остаток 0.
Перевод десятичной дроби 99999999910 в систему счисления с основаниями В=3 представлен на рисунке 6
| 2 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Рисунок 6 – Троичное представление числа 99999999910
Четыре нуля в троичном представлении числа 99999999910.
2.5 На рисунке 7 представлен перевод в шестнадцатеричную систему запись целого числа 259510
| 10 | 2 | 2 |
Рисунок 7 – Шестнадцатеричное представление числа 259510
Сумма цифр шестнадцатеричной записи целого числа 259510 равна:
10 + 2 + 2 = 5;
Признак делимости: шестнадцатеричное число делится на 15, если сумма его цифр делится на 15 – не подтверждается.
2.6 На рисунке 8 представлен перевод в десятичную систему запись целого числа 6517
| 3 | 3 | 0 |
Рисунок 8 – Десятичное представление числа 6517
На рисунке 9 представлен перевод в восьмеричную систему запись целого числа 33010
| 5 | 1 | 1 |
Рисунок 9 – Восьмеричное представление числа 33010
Признак делимости на 7, записанного в восьмеричной системе счисления: число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится сумма его цифр – подтверждается, так как:
5 + 1 + 1 = 7;
2.7 В таблице 2 представлен перевод в десятичную систему счисления чисел из системы с основанием В=2.
| Основание системы | Исходные числа | Полученный перевод числа |
| 2 | 0,1 | 0,5 |
| 2 | 0,3 | 1,5 |
| 2 | 0,8 | 4 |
Дробь всегда получается с конечным числом значащих цифр, потому что если знаменатель натуральной несократимой дроби, задающей дробную часть числа, разлагается только на те же простые множители, на которые разлагается основание В системы счисления, то такая дробная часть в позиционной записи будет конечной.
2.8 На рисунке 10 представлено сложение двух чисел в двоичной системе
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Рисунок 10 – Сложение двух чисел в двоичной системе
«Сумматор» будет работать неправильно из-за переполнения его разрядной сетки, так как сложение чисел происходило с ограниченным числом разрядов.
Наибольшее правильно вычисляемое значение суммы имеет вид:
111111111111111111111111102 =67 108 86210 .
2.9 На рисунке 11 представлен перевод в десятичную систему запись числа 2460,738
| 1 | 3 | 2 | 8 | , | 9 | 2 | 1 | 8 | 7 | 5 |
Рисунок 11 – Десятичное представление числа 2460,738
На рисунке 12 представлен перевод в восьмеричную систему запись числа 1328,92187510
| 2 | 4 | 6 | 0 | , | 7 | 3 |
Рисунок 12 – Восьмеричное представление числа 1328,92187510
Согласно заданию число 2460,738 было переведено в десятичную систему счисления, а затем снова в восьмеричную систему счисления
2460,738 → 1328,92187510 → 2460,738
2.10 Пусть В=2, ХВ = 100,00012, YВ = 100,01112, С=7 (исходные данные варианта №1). В таблице 3 представлены XB и YB в систему с основанием С и результатами независимых суммирований ZB и ZС
| Основание системы счисления | Величина | ||
| Х | Y | Z | |
| 2 | 100,0001 | 100,0111 | 1000,1 |
| 7 | 4,(03) | 4,(30) | 11,(3) |
Каждая из получено сумм ZC и ZВ при переводе в десятичную систему представляет собой 8,б5.