Анализ стационарных и динамических объектов (стр. 6 из 7)

Первое уравнение

или

3.1.3.1.3. Модифицированный метод Эйлера (метод Эйлера – Коши). Тангенс угла наклона касательной к кривой

известен в

и равен

, но он меняется с изменением независимой переменной, и в точке

наклон касательной уже не такой, как в

, т.е. на интервале

вносится погрешность.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, использовав среднее значение производной в начале и конце интервала.

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера.

которое используется для приближенного вычисления значения производной в конце интервала, т.е.

Вычислив среднее значение производной между полученным в начале и в конце интервала, найдем более точное значение

Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Вернемся к разложению в ряд Тейлора:

Попытаемся сохранить член с

; для этого

аппроксимируем конечной разностью:

Подставив это выражение в ряд Тейлора, получим:

Это выражение совпадает с ранее полученным.

Данный метод является методом второго порядка, поскольку в нем используется член ряда Тейлора, содержащий

3.1.3.1.4 Метод Рунге – Кутта. Точность одношаговых методов можно повысить, если осуществить более точную аппроксимацию производной на интервале

, т.е. использовать члены более высоких порядков в разложении Тейлора.

Чтобы удержать в ряде Тейлора член

– го порядка, необходимо вычислять

– ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно – разностной форме достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно– разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала

, т.е. между

. Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала.

Метод Рунге-Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой цели.

Алгоритм Рунге-Кутта первого порядка является методом Эйлера.

Алгоритм Рунге-Кутта второго порядка является модифицированным методом Эйлера (методом Эйлера – Коши). Для вычисления

получаем формулы:

Наиболее распространенный вариант метода – метод четвертого порядка точности. Для вычисления

получаем формулы:

3.1.3.1.5 Автоматический выбор шага. В приведенных выше методах величина шага изменения

предполагалась постоянной. Очевидно, что при интегрировании с малой величиной шага мы будем получать более точное решение.

Однако, указать заранее приемлемую величину шага сложно. Если шаг выбрать большой, то будет недостаточной точность результатов. Если же шаг выбрать очень малый, то это увеличивает число шагов и время решения.

Поэтому некоторые программы интегрирования, применяемые на практике, снабжены процедурой автоматического выбора шага. В результате этого на участках плавного изменения интегральной кривой шаг автоматически увеличивается, а при резких изменениях функции шаг уменьшается.

3.1.3.1.6. Общая характеристика одношаговых методов. Чтобы получить информацию в новой точке, нужно иметь данные о предыдущей точке.

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие степени до

включительно. Целое число

называют порядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок

Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных – вычисляется лишь сама функция (правая часть уравнения). Могут потребоваться значения функции в промежуточных точках, что влечет дополнительные затраты времени.

3.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы выбрать из табл.3.1. систему уравнений

(первое и второе уравнение), описывающую исследуемый динамический объект.

Построить структурную схему для исследуемого динамического объекта, аналогичную приведенной на рис. 3.1.

Составить и отладить программу решения системы дифференциальных уравнений согласно Приложению 3.1.

Примечание. Интегрирование систем уравнений проводится на интервале от 0 до 2

.Начальные значения для

в уравнениях, содержащих

, равны 0; в уравнениях, содержащих

, равны 1. Начальные значения для

для всех вариантов равны 0. Количество точек на интервале для первого расчета принять равным 8, для второго – 32.

Построить графики поведения динамического объекта для двух случаев (расчетов).

Сравнить поведение объектов для двух случаев (расчетов) и сделать вывод об изменении точности.

Таб.3.1. Таблица вариантов систем уравнений