К такому же результату можно придти, используя разложение в ряд Тейлора:
Члены, содержащие
Полученная точка
Одно из преимуществ метода Ньютона – это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со многими переменными.
2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:
где
Решением системы НАТУ называется совокупность чисел
2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:
Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений
Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:
где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) – из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.
Найденные из системы (2.5) значения
Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок
Следует обратить внимание на то, что проверку поправок
Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений
Решение. Очевидно,
Для формирования матрицы Якоби получим частные производные:
Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) – частные производные функций и вектора свободных членов (В) – функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:
Задавшись некоторым начальным приближением
С полученным
2.2. Последовательность выполнения работы
Согласно номеру по списку группы выбрать из табл.2.1 значения параметров для нелинейного объекта. По формулам
в1і= в1–h(і-1) ;
в2і= в2–h(і-1) ;
для і=1,2,...5 определить значения коэффициентов, определяющих выход для пяти рассматриваемых случаев.
2. Составить и отладить программу решения системы нелинейных уравнений согласно Приложению 2.1 и для полученных в пункте 1 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1и х2.
3. По результатам просчета на ПЭВМ получить таблицы значений входа (х1и х2 ) при заданных значениях выхода ( в1 и в2).
4. Построить графики изменения значений х1и х2 в зависимости от значений в1 и в2. .
Таблица 2.1
Номерпо списку | ЗаданияКоэффициенты системы уравненийа1 х1+ а2 х2=в1; х1 х2=в2; а1 а2 в1 в2 h |
1 | 1 2 4 2 0.1 |
2 | 2 1 3 1 |
3 | 1 2 3 1 |
4 | 2 2 4 1 |
5 | 2 1 4 2 |
6 | 1 3 4 1 |
7 | 1 1 5 3 |
8 | 1 3 5 2 |
9 | 3 3 6 1 |
10 | 2 3 7 2 |
11 | 3 3 9 2 |
12 | 2 2 9 2 |
13 | 1 1 9 2 |
14 | 1 3 5 2 |
15 | 1 1 7 3 |
16 | 2 2 7 3 |
17 | 2 3 5 1 |
18 | 3 1 5 2 |
19 | 5 5 10 1 |
20 | 6 2 10 2 |
21 | 2 2 10 2 |
22 | 1 1 10 2 |
23 | 1 1 11 2 |
24 | 2 2 11 2 |
25 | 2 2 11 3 |
26 | 2 2 11 4 |
27 | 2 2 11 5 |
28 | 2 2 11 6 |
29 | 2 2 11 7 |
30 | 1 1 11 8 |