Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра вычислительной и прикладной математики.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Информатика»
Выполнил: студент гр.
Проверил:
Никитин В.И.
Рязань, 2001г
Задание.
Составить программу вычисления определенного интеграла
с погрешностью не превышающей заданную величину
. В программе предусмотреть защиту от зацикливания итерационного процесса, подсчет и вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение интеграла с заданной погрешностью. Для проверки программы интегрирования вычислить 
Метод вычислений – Формула Гаусса.
| № | f(x) | a | b | c | d | |
| 1 | edx/2cos2(cx) | 0 | p | 0.9; 1; 1.05; 1.1 | 2.4; 2.5; 2.6 | 10-4 |
| 2 | (x ln(cdx))2 | 1 | e | 3; 3.2; 3.4; 3.5 | 0.5; 0.4; 0.85 | 10-3 |
Содержание.
Задание.................................................................................................................. 1
Содержание......................................................................................................... 2
Описание метода решения...................................................................... 3
Блок-схема программы.............................................................................. 4
Текст программы и результаты счета............................................. 5
Заключение........................................................................................................ 7
Библиографический список................................................................... 7
Описание метода решения.
В формуле Гаусса на каждом интервале интегрирования значение функции f(x) вычисляется не в равномерно распределенных по интервалу узлах, а в абсциссах, выбранных из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции:
где n- число интервалов интегрирования, m – число вычисляемых на каждом интервале значений функции.
, 
– границы интервалов интегрирования; 
и 
- коэффициенты значения которых определяются величиной m. Для m=3 A1=5/9, A2=8/9, A3=5/9, 
, t2=0, t3=-t1 
Блок-схема программы.
Блок-схема1: Функция вычисления интеграла.
Блок-схема 2: Основная программа.
Текст программы и результаты счета.
programKursovoy;
constA1=5/9; A2=8/9; t=-0.77459;{константы для взятия интеграла методом Гаусса}
typefunc=function(x,c,d:real):real;{прототип функции от которой берется интеграл}
vara,b,eps:real;{пределы интегрирования и точность вычисления}
c:array[1..4] ofreal;{параметры функции, от которой берется интеграл}
d:array[1..5] of real;{взяты из таблицы 2}
function f_test(x,c,d:real):real;{тестовая функция sin(x)}
begin{интеграл от 0 до пи теоретически равен 2}
f_test:=sin(x);
end;
function f1(x,c,d:real):real;{первая функция из таблицы 2}
begin
f1:=exp(d*x/2)*sqr(cos(c*x));
end;
function f2(x,c,d:real):real;{вторая функция из таблицы 2}
begin
f2:=sqr(x*ln(c*d*x));
end;
{Функция взятия интеграла от функции f, прототип(вид) которой описан в типе func
a,b- пределы интегрирования, cm,dm-параметры c и d функции f, eps -точность вычислений
k-число итераций, за которые удалось найти интеграл }
function Integral(f:func;a,b,cm,dm,eps:real; var k:integer):real;
varS,z,h,c,d,l,x,x1,x2,x3:real;{S-текущее приближенное значение интеграла,
z-предыдуще приближенное значение интеграла,h-шаг интегрирования,
c,d,l,x,x1,x2,x3-вспомогательные переменные см. стр.25 методички}
i,n:integer;{i-счетчик цикла, n-число интервалов интегрирования}
begin
n:=1; S:=0; k:=0;
repeat
k:=k+1;{увеличиваем число итераций}
z:=S; {предыдущее значение интеграла равно текущему}
n:=n*2;{в два раза увеличиваем число интервалов интегрирования}
h:=(b-a)/n; x:=a; S:=0; c:=h/2; l:=c*t;{определение шага интегрирования,
начального значения x, сам интеграл сначала равен 0,
вспомогательные переменные считаем }
fori:=0 ton-1 do{перебираем все интервалы интегрирования}
begin
d:=x+c; x1:=d-l;x2:=d; x3:=d+l;{вычисляем значения абцисс узлов,
выбранных из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции}
S:=S+A1*(f(x1,cm,dm)+f(x3,cm,dm))+A2*f(x2,cm,dm);{добавляем к сумме}
x:=x+h;{переходим на новый интервал интегрирования}
end;
S:=S*c;{умножаем полученную сумму на h/2}
until (abs(z-S)<eps*abs(S)) or (k>=14);{выходим из цикла,
если относительная погрешность предыдущего и текущего интегралов меньше заданной точности
или если число итераций превысило допустимое}
Integral:=S;{возвращаем значение полученного интергала}
end;
var i,j,n:integer;
begin
{вычисляем значение проверочного интеграла, передавая в функцию Integral имя вычисляемой функции
в данном случае f_test, интервал интегрирования a=0 b=3.14159
cm=0 dm=0(последние два параметра в данном случае могут быть любыми,т.к. f_test от них не зависит)
eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления интеграла будет записано число итераций}
writeln('Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx =',Integral(f_test,0,3.14159,0,0,1e-3,n):7:5,
' ',n,' итераций');
c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1;{ввод параметров для первой функции}
d[1]:=2.4; d[2]:=2.5; d[3]:=2.6; eps:=1e-4;
a:=0; b:=3.14159;
writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f1 ','с точностью',eps:5,' при:');
fori:=1 to 4 do{перебираем параметр с}
forj:=1 to 3 do{перебираем параметр d}
begin
{вычисляем значение первого интеграла, передавая в функцию Integral имя вычисляемой функции
в данном случае f1, интервал интегрирования a=0 b=3.14159
cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны 0, т.к. f1 от них зависит)
eps=1e-4(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления интеграла будет записано число итераций}
writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен ',Integral(f1,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');
end;
readln;{ожидаем нажатия клавиши enter, иначе все выводимые данные не поместятся на один экран}
c[1]:=3; c[2]:=3.2; c[3]:=3.4; c[4]:=3.5;{ввод параметров для первой функции}
d[1]:=0.5; d[2]:=0.4; d[3]:=0.85; eps:=1e-3;
a:=1; b:=exp(1);{b=e}
writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f2 ','с точностью',eps:5,' при:');
fori:=1 to 4 do{перебираем параметр с}
forj:=1 to 3 do{перебираем параметр d}
begin
{вычисляем значение второго интеграла, передавая в функцию Integral имя вычисляемой функции
в данном случае f2, интервал интегрирования a=1 b=e
cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны 0, т.к. f2 от них зависит)
eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления интеграла будет записано число итераций}
writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен ',Integral(f2,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');
end;
end.
Результаты счета.
Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx =2.00000 2 итераций
Интеграл от 0 до 3.142 функции f1 с точностью 1.0E-0004 при:
с=0.90 d=2.40 равен 17.12437 3 итераций
с=0.90 d=2.50 равен 19.52435 3 итераций
с=0.90 d=2.60 равен 22.28654 3 итераций
с=1.00 d=2.40 равен 22.33040 2 итераций
с=1.00 d=2.50 равен 25.49172 2 итераций
с=1.00 d=2.60 равен 29.12609 3 итераций
с=1.05 d=2.40 равен 24.19102 3 итераций
с=1.05 d=2.50 равен 27.60541 3 итераций
с=1.05 d=2.60 равен 31.52694 3 итераций
с=1.10 d=2.40 равен 25.37969 3 итераций
с=1.10 d=2.50 равен 28.93760 3 итераций
с=1.10 d=2.60 равен 33.01928 3 итераций
Интеграл от 1 до 2.718 функции f2 с точностью 1.0E-0003 при:
с=3.00 d=0.50 равен 8.40102 2 итераций
с=3.00 d=0.40 равен 5.52503 2 итераций
с=3.00 d=0.85 равен 17.78460 2 итераций
с=3.20 d=0.50 равен 9.35094 2 итераций
с=3.20 d=0.40 равен 6.29171 2 итераций
с=3.20 d=0.85 равен 19.17026 2 итераций
с=3.40 d=0.50 равен 10.29153 2 итераций
с=3.40 d=0.40 равен 7.06018 2 итераций
с=3.40 d=0.85 равен 20.52016 2 итераций
с=3.50 d=0.50 равен 10.75780 2 итераций
с=3.50 d=0.40 равен 7.44414 2 итераций
с=3.50 d=0.85 равен 21.18214 2 итераций
Заключение.
В данной курсовой работе вычислялись определенные интегралы методом Гаусса. Как видно из полученных результатов, программа работает верно, т.к.теоретически
=2, что совпадает с расчетным, обеспечивает заданную точность вычислений, при малом числе итераций. К достоинствам данного метода вычисления функций стоит отнести, то что метод Гаусса обеспечивает точное вычисление интеграла от полинома степени 2m-1. К недостаткам следует отнести относительно большое время расчета интеграла, при больших m.Библиографический список.
1. Решение уравнений и численное интегрирование на ЭВМ: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Информатика». Рязань,2000г. 32 c.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.:1986 544с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:1975.