Среднеквадратическое отклонение функции
:
Таким образом, среднеквадратическое отклонение значений функции от значений распределения полученных данных достаточно велико, следовательно, данная функция не является оптимальной
Рассмотрим теперь аппроксимацию полиномом. Степень полинома не может превышать 9, т.к. всего точек в распределении данных - 10. Будем изменять значение параметра n - степени полинома, выберем два разных полинома со степенями, например 2 и 3 и сравним погрешность такой аппроксимации
Результаты аппроксимации данных полученными полиномами polyи poly2 представлены на рис. 6
Рисунок 6– График степенной функции
Оценим погрешность данного способа аппроксимации для функции F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2 + 53.93*x3:
Для функции F(x) = -1617.748+ 598.477*x– (-52.578)*x2:
Рассмотрим логарифмическую функцию.
Будем располагать точки на различных графиках
Рисунок 7 – Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnу)
Рисунок 8 - Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnx)
Рисунок 9 – Логарифмические шкалы по обеим осям
Можно заметить что на рисунке 7 точки приближенно укладываются в прямую линию. Это означает что подбираемую функцию можно линеаризовать, если заменить вектор у на ln(у).
В уравнении ln(у) = а*х + ln(b) заменим ln(у) на у1, а заменим на а0, ln(b) y на b0.
Применили линейную аппроксимацию для расчета коэффициентов а и ln(b), а затем А и В.
Получим у = В*еАх
Оценим погрешность данного способа аппроксимации для функции
Все линии отобразим на одном графике
7. Вывод
Для описания табличных данных были исследованы три типа зависимостей: линейная, степенная, и логарифмическая. Также были определены
коэффициенты в уравнениях этих зависимостей и суммы квадратов отклонений от всех точек до искомой кривой.
:
F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2 + 53.93*x3:
F(x) = -1617.748+ 598.477*x– (-52.578)*x2:
Затем была выбрана наиболее подходящая для заданных опытных данных функциональная зависимость. Она соответствует наименьшей сумме квадратов отклонений. Наименьшую сумму квадратов отклонений Q1 имеет степенная зависимость. Следовательно, наилучшая для заданных опытных значений функциональная модель – степенная со следующим уравнением: F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2 + 53.93*x3. Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет обработать полученные опытные данные и определить тип зависимости между ними.
1. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. - М.: Просвещение. 1990. - 176 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука 1973.
3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.
4. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. -М.: Просвещение. 1978.
5. Плис А. И. Сливина Н. A. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров. - М.: финансы и статистика, 2000. 656 с.
6. В. Д. Лисица, Г. И. Севодина. Расчеты в системе MathCAD: лабораторный практикум по курсу информатики и вычислительной математики для студентов технологических и экономических специальностей. - Бийск: Изл-во Алт. гос. техн. ун-та. 2002. - 62 с.
