Двоичные деревья поиска (стр. 3 из 5)
Случай 1 (строки 12-15 и 34-37) показан на рисунке 6. Является ли вершина node правым или левым потомком своего родителя, значения не имеет.
Рисунок 6.
Обе вершины (node и nodeTemp) – красные, а вершина node.nodeParent.nodeParent – чёрная. Перекрасим node.nodeParent и nodeTemp в чёрный цвет, а node.nodeParent.nodeParent – в красный. При этом число чёрных вершин на любом пути от корня к листьям остаётся прежним. Нарушение свойств КЧД возможно лишь в одном месте: вершина node.nodeParent.nodeParent может иметь красного родителя, поэтому надо продолжить выполнение цикла, присвоив node значение node.nodeParent.nodeParent.
В случаях 2 и 3 вершина nodeTemp – чёрная. Различаются случаи, когда вершина node является правым или левым потомком своего родителя. Если правым, то это случай 2 (строки 20-23 и 41-45). В этом случае производится левое вращение, которое сводит случай 2 к случаю 3, когда node является левым потомком своего родителя. Так как node и node.nodeParent – красные, после вращения количество чёрных вершин на путях от корня к листьям остается прежним.
Рисунок 7.
Осталось рассмотреть случай 3: красная вершина node является левым потомком красной вершины node.nodeParent, которая, в свою очередь, является левым потомком node.nodeParent.nodeParent, правым потомком которой является nodeTemp. В этом случае достаточно произвести правое вращение и перекрасить две вершины. Цикл окончится, так как вершина node.nodeParent будет после этого чёрной.
Удаление вершины немного сложнее добавления. Мы будем считать, что (NIL).color == BLACK, и будем считать операцию взятия цвета у указателя, равного NIL, допустимой операцией. Также мы будем считать допустимым присваивание (NIL).nodeParent, и будем считать данное присваивание имеющим результат. То есть при взятии значения (NIL).nodeParent мы получим ранее записанное значение. Функция RBTDelete подобна TreeDelete, но, удалив вершину, она вызывает процедуру RTBDeleteFixUp для восстановления свойств КЧД.
| RBTDelete(Tree,node) Begin If (node.left == NIL) or (node.right == NIL) Then nodeParent = node; Else nodeParent = TreeNext(node); If (nodeParent.left != NIL) Then nodeTemp = nodeParent.left; Else nodeTemp = nodeParent.right; nodeTemp.nodeParent = nodeParent.nodeParent; If (nodeTemp.nodeParent == NIL) Then Tree.root = nodeTemp; Else Begin If (nodeParent.nodeParent.left == nodeParent) Then nodeParent.nodeParent.left = nodeTemp; Else nodeParent.nodeParent.right = nodeTemp; End If (nodeParent != node) Then Begin node.key = nodeParent.key; node.color = nodeParent.color; { копирование дополнительных данных } End If (nodeParent.color == BLACK) Then RBTDeleteFixUp(Tree,nodeTemp); Return nodeParent; End |
Рассмотрим, как процедура RBTDeleteFixUp восстанавливает свойства КЧД. Очевидно, что если удалили красную вершину, то, поскольку оба ее потомка чёрные, красная вершина не станет родителем красного потомка. Если же удалили чёрную вершину, то как минимум на одном из путей от корня к листьям количество чёрных вершин уменьшилось. К тому же красная вершина могла стать потомком красного родителя.
| 1 RTBDeleteFixUp(Tree,node) 2 Begin 3 While (node != Tree.root) and (node.color == BLACK) Do 4 Begin 5 If (node == node.nodeParent.left) 6 Begin 7 nodeTemp = node.nodeParent.right; 8 If (nodeTemp.color == RED) Then 9 Begin 10 nodeTemp.color = BLACK; 11 nodeTemp.nodeParent.color = RED; 12 RBTLeftRotate(Tree,node.nodeParent); 13 nodeTemp = node.nodeParent.right; 14 End 15 If (nodeTemp.left.color == BLACK) and (nodeTemp.right.color == BLACK) Then 16 Begin 17 nodeTemp.color = RED; 18 nodeTemp = nodeTemp.nodeParent; 19 End 20 Else 21 Begin 22 If (nodeTemp.right.color == BLACK) Then 23 Begin 24 nodeTemp.left.color = BLACK; 25 nodeTemp.color = RED; 26 RBTRightRotate(Tree,nodeTemp) 27 nodeTemp = node.nodeParent.right; 28 End 29 nodeTemp.color = node.nodeParent.color; 30 node.color.nodeParent = BLACK; 31 nodeTemp.right.color = BLACK; 32 RBTLeftRotate(Tree,node.nodeParent); 33 node = Tree.root; 34 End 35 End 36 Else 37 Begin 38 nodeTemp = node.nodeParent.left; 39 If (nodeTemp.color == RED) Then 40 Begin 41 nodeTemp.color = BLACK; 42 nodeTemp.nodeParent.color = RED; 43 RBTRightRotate(Tree,node.nodeParent); 44 nodeTemp = node.nodeParent.left; 45 End 46 If (nodeTemp.right.color == BLACK) and (nodeTemp.left.color == BLACK) Then 47 Begin 48 nodeTemp.color = RED; 49 nodeTemp = nodeTemp.nodeParent; 50 End 51 Else 52 Begin 53 If (nodeTemp.left.color == BLACK) Then 54 Begin 55 nodeTemp.right.color = BLACK; 56 nodeTemp.color = RED; 57 RBTLeftRotate(Tree,nodeTemp) 58 nodeTemp = node.nodeParent.left; 59 End 60 nodeTemp.color = node.nodeParent.color; 61 node.color.nodeParent = BLACK; 62 nodeTemp.left.color = BLACK; 63 RBTRightRotate(Tree,node.nodeParent); 64 node = Tree.root; 65 End 66 End 67 End 68 node.color = BLACK; 69 End |
Процедура RBTDeleteFixUp применяется к дереву, которое обладает свойствами КЧД, если учесть дополнительную единицу черноты в вершине node (она теперь дважды чёрная, это чисто логическое понятие, и оно нигде фактически не сохраняется и логического типа для хранения цвета вам всегда будет достаточно) и превращает его в настоящее КЧД.
Что такое дважды чёрная вершина? Это определение может запутать. Формально вершина называется дважды чёрной, дабы отразить тот факт, что при подсчёте чёрных вершин на пути от корня до листа эта вершина считается за две черных. Если чёрная вершина была удалена, её черноту так просто выкидывать нельзя. Она на счету. Поэтому временно черноту удалённой вершины передали вершине node. В задачу процедуры RBTDeleteFixUp входит распределение этой лишней черноты. Они или будет передана красной вершине (и та станет чёрной) или после перестановок других чёрных вершин (дабы изменить их количество на пути от корня к листьям) будет просто выкинута.
В цикле (строки 3-67) дерево изменяется, и значение переменной node тоже изменяется, но сформулированное свойство остаётся верным. Цикл завершается, если:
node указывает на красную вершину, тогда мы красим её в чёрный цвет (строка 68).
node указывает на корень дерева, тогда лишняя чернота может быть просто удалена.
Могло оказаться, что внутри тела цикла удается выполнить несколько вращений и перекрасить несколько вершин, так что дважды чёрная вершина исчезает. В этом случае присваивание node = Tree.root (строки 33 и 64) позволяет выйти из цикла.
Внутри цикла node указывает на дважды чёрную вершину, а nodeTemp – на её брата (другую вершину с тем же родителем). Поскольку вершина node дважды чёрная, nodeTemp не может быть NIL, поскольку в этом случае вдоль одного пути от node.nodeParent было бы больше чёрных вершин, чем вдоль другого. Четыре возможных случая показаны на рисунке ниже. Зелёным и синим, помечены вершины, цвет которых не играет роли, то есть может быть как черным, так и красным, но сохраняется в процессе преобразований.
Рисунок 8
Убедитесь, что преобразования не нарушают свойство 4 КЧД (помните, что вершина node считается за две чёрные, и что в поддеревьях a - f изначально не равное количество чёрных вершин).
Случай 1 (строки 9-14 и 40-45) имеет место, когда вершина nodeTemp красная (в этом случае node.nodeParent чёрная). Так как оба потомка вершины nodeTemp чёрные мы можем поменять цвета nodeTemp и node.nodeParent и произвести левое вращение вокруг node.nodeParent не нарушая свойств КЧД. Вершина node остается дважды чёрной, а её новый брат – чёрным, так что мы свели дело к одному из случаев 2-4.
Случай 2 (строки 16-19 и 47-50). Вершина nodeTemp – чёрная, и оба её потомка тоже чёрные. В этом случае мы можем снять лишнюю чёрноту с node (теперь она единожды чёрная), перекрасить nodeTemp, сделав ёё красной (оба её потомка чёрные, так что это допустимо) и добавить черноту родителю node. Заметим, что если мы попали в случай 2 из случая 1, то вершина node.nodeParent – красная. Сделав её чёрной (добавление чёрного к красной вершине делает её чёрной), мы завершим цикл.
Случай 3 (строки 23 – 28 и 53 - 59) Вершина nodeTemp чёрная, её левый потомок красный, а правый чёрный. Мы можем поменять цвета nodeTemp и её левого потомка и потом применить правое вращение так, что свойства КЧД будут сохранены. Новым братом node будет теперь чёрная вершина с красным правым потомком, и случай 3 сводится к случаю четыре.
Случай 4 (строки 29 – 33 и 60 - 64) Вершина nodeTemp чёрная, правый потомок красный. Меняя некоторые цвета (не все из них нам известны, но это нам не мешает) и, производя левое вращение вокруг node.nodeParent, мы можем удалить лишнюю черноту у node, не нарушая свойств КЧД. присваивание node = Tree.root выводит нас из цикла.
Сравнительные характеристики скорости работы различных структур данных
Чтобы всё сказанное до этого не казалось пустой болтовнёй, я в качестве заключения приведу сравнительные характеристики скорости работы различных структур данных (деревьев и массивов). Для измерения времени была использована функция WinAPI QueryPerfomanceCounter. Время пересчитано в микросекунды. В скобках приведена конечная глубина дерева. Тестирование проводилось на процессоре Intel Celeron Tualatin 1000MHz с 384Мб оперативной памяти. В качестве ключа использовалось число типа int (32-х битное целое со знаком), а в качестве данных число типа float (4-х байтное вещественное).
| Количество элементов | ДДП | КЧД | Постоянно сортированный массив | Несортированный массив | Массив с постсортировкой |
| 1000 | 4943 (1000) | 535 (17) | 193 | 32 | 73 |
| 2000 | 20571 (2000) | 1127 (19) | 402 | 89 | 152 |
| 3000 | 65819 (3000) | 1856 (20) | 621 | 98 | 305 |
| 4000 | 82321 (4000) | 2601 (21) | 862 | 189 | 327 |
| 5000 | 126941 (5000) | 3328 (22) | 1153 | 192 | 461 |
| 6000 | 183554 (6000) | 4184 (22) | 1391 | 363 | 652 |
| 7000 | 255561 (7000) | 4880 (23) | 1641 | 452 | 789 |
| 8000 | 501360 (8000) | 5479 (23) | 1905 | 567 | 874 |
| 9000 | 1113230 (9000) | 6253 (24) | 2154 | 590 | 1059 |
| 10000 | 1871090 (10000) | 7174 (24) | 2419 | 662 | 1180 |
Таблица 1. Добавление элемента (возрастающие ключи)