Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Курсовая работа
по программированию
Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы произвольного порядка
Комсомольск-на-Амуре 2010
Введение
Си (англ. C) — стандартизированный процедурный язык программирования, разработанный в начале 1970-х годов сотрудниками Bell Labs Кеном Томпсоном и Денисом Ритчи как развитие языка Би. Си был создан для использования в операционной системе UNIX. С тех пор он был портирован на многие другие операционные системы и стал одним из самых используемых языков программирования. Си ценят за его эффективность. Он является самым популярным языком для создания системного программного обеспечения. Его также часто используют для создания прикладных программ. Несмотря на то, что Си не разрабатывался для новичков, он активно используется для обучения программированию. В дальнейшем синтаксис языка Си стал основой для многих других языков.
Для языка Си характерны лаконичность, современный набор конструкций управления потоком выполнения, структур данных и обширный набор операций.
Язык Си был создан для программистов, учитывая их интересы, и многократно проверялся на практике, прежде чем был окончательно реализован. Именно поэтому языки Си и Си++ стали наиболее популярными среди программистов высокого уровня.
Цель работы – разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы произвольного порядка.
Метод исследования – изучение литературы, написание и отладка программ на компьютере
1. Анализ вопроса и постановка задачи
1.1 Выбор метода решения
Вычисление определителя матрицы можно осуществить одним из следующих способов.
1. Метод понижения порядка. Нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению п определителей (n – 1)-го порядка. Метод неэффективен.
2. Нахождение определителя сводится к вычислению одного определителя (n – 1)-го порядка. Для этого достаточно все элементы, кроме одного, в каком-либо столбце (строке) сделать равными нулю.
3. Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали:
4. Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса
5. Метод Крамера
Рассмотрим метод Крамера созданный Габриелем Крамером в 1750 году. Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.
Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка
или просто 
: 
.Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.
Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.
Рассмотрим матрицу первого порядка
.Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента 
.
Обозначается определитель одним из символов
.Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное 
.
Обозначается определитель одним из символов
.Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.
Определение 4. Минором любого элемента 
квадратной матрицы порядка 
называется определитель порядка 
, соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания 
-ой строки и 
-го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Обычно минор элемента обозначается
.Определение 5. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное
.
Обозначается определитель одним из символов
.Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя
-го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка 
. Для 
это правило дает:
.В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки 
( 
), для определителя 
-го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по 
-ой строке.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент
.Докажем сначала эту теорему для
. В этом случае может быть равно только 2, так как 
входит в основное определение величины определителя. Итак: 
.Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного
данная теорема доказывается методом математической индукции.Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.
Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца 
( 
), для определителя 
-го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -му столбцу.
Докажем теорему для
: 
.Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя
-го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.