Теория устойчивости систем (стр. 1 из 6)
Министерство образования РФ
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра Автоматики и управления
Реферат
по математическим основам теории систем
на тему
Теория устойчивости систем
Выполнил:
Группа: ПС-263
Проверил: Разнополов О. А.
Челябинск
2003
Содержание:
1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3
2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4
3. Устойчивость тривиального решения........................................................ 4
4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5
5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5
6. Критерии устойчивости линейных систем................................................. 6
7. Второй метод Ляпунова.............................................................................. 8
8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................. 10
9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12
10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................ 12
11. Экспоненциальная устойчивость............................................................ 16
12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19
13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера....................................... 21
Список литературы....................................................................................... 23
1. Устойчивость в смысле Ляпунова
Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:
Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En+1, координатами в котором будут являться переменные t, x1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi=si(t, xi0), i=1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si(t0, xi0)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t0≤t≤¥, причем t0 можно считать равным ¥.
Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si(t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t®¥, если для любого e>0 существует такое d>0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=ji(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство
|ji(t0)–si(t0)|<d,
удовлетворяет неравенству
|ji(t)–si(t)|<e, t0≤t≤¥
для всех i=1, 2, …, n.
Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t0 начинаются в d-окрестности точки (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут e-трубку решения si(t) (рис. 1).
Решение si(t), i=1, 2, …, n, называется неустойчивым, если существует e>0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство
|jk(t1)–sk(t1)|³e,
несмотря на то, что
для всех i=1, 2, …, n.
Решение si(t) называется асимптотически устойчивым, если:
1) решение si(t) устойчиво по Ляпунову при t®¥;
2) существует такое число H>0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|<H, i=1, 2, …, n, будет справедливо равенство
.
Если H=¥, то динамическая система называется устойчивой в целом. Если нулевое состояние линейной системы асимптотически устойчиво, то оно асимптотически устойчиво в большом, то есть асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию.
Линейная система называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если ее начальное состояние устойчиво (асимптотически устойчиво). Нелинейные системы могут иметь асимптотически устойчивое состояние равновесия, не будучи асимптотически устойчивыми в большом, то есть устойчивость справедлива в локальном смысле.
Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением
,
устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда найдется постоянная M, которая будет зависеть от t, такая, что
где Ф(t,t0) – переходная матрица, то есть
.Линейная система
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда:1) имеется постоянная M, такая, что
;2)
Вектор состояния стационарной системы не может возрастать быстрее, чем некоторая экспонента. Это верно и для нестационарной системы при условии, что матрица A(t) остается ограниченной для всех t³t0.
3. Устойчивость тривиального решения
Исследование устойчивости любого решения системы
можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения
.Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi=xi–si(t), тогда
Очевидно, что gi(0,0,…,0)º0, то есть последняя система будет иметь тривиальное решение yi(t) º0. Эта система носит название системы уравнений возмущенного движения.
Введем в рассмотрение два пространства: Ex решений системы
,и пространство Ey решений системы
.Каждой интегральной кривой пространства Ex соответствует интегральная кривая пространства Ey, причем кривой xi=si(t) соответствует yi(t)º0 (рис. 2). Если решение xi=si(t) устойчиво в пространстве Ex, то решение yi(t)º0 устойчиво в пространстве Ey, и наоборот. Поэтому вместо исследования устойчивости решения xi=si(t) можно исследовать устойчивость тривиального решения.
Тривиальное решение yi(t)º0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого e>0 существует такое d>0, зависящее от e и от t0, что для любого решения yi=ji(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |ji(t0)|<d, выполняется неравенство |ji(t)|<e при t0≤t<¥ для всех i=1,2,…,n.
Особое значение имеет устойчивость состояния равновесия. Состояние равновесия определяется корнями уравнения
fi(x1,x2,…,xn)=0, i=1,2,…,n.
4. Устойчивость линейных систем
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<¥.
Однородная система, соответствующая данной, имеет вид
.
Эта система имеет тривиальное решение
Любое решение однородной системы дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение. Отсюда следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и наоборот, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы.
Однородная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой.
Линейная однородная система дифференциальных уравнений устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для t³t0.