Теория устойчивости систем (стр. 6 из 6)
.Так как H – симметрична, то
,Отсюда
, или 
(10)При этом в (9)–(10) было использовано свойство симметрических вещественных матриц:
. (11)Наибольшее lM(H) и наименьшее lm(H) собственные значения матрицы H, если H положительно определена, будут вещественными и положительными.
Таким образом для функции
, независимо от вида (1) и (3) можно записать: 
Коэффициент
будет зависеть от вида уравнения.Для линейной стационарной системы
имеем
.Обозначим
, где G – положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно, 
,то есть в данном случае
также является квадратичной формой, и на основании (11) можно записать 
.Таким образом, для квадратичных функций Ляпунова и для корней квадратных из них в случае стационарной системы все коэффициенты в неравенствах (3) Красовского выражены через собственные значения матриц H и G.
12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления
Пусть система S описывается уравнением:
.Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки
в начало координат 0n, то есть 
.Будем искать управление u(t) в виде
(1)– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим
.Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы
все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа l1,…,ln<0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор 
. Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы
.Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере.
Пример: требуется найти управление, переводящее систему
в состояние
.Управление будем искать в виде
;Подставим это управление в исходное уравнение. Получим
. 
.Найдем характеристический полином этой матрицы:
. (2)Зададим корни характеристического уравнения такими:
. Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут 
и
: 
.Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть
.Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае l). Получим систему уравнений:
Отсюда находим, что
. Следовательно, искомое управление будет иметь вид: 
.13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера
Рассмотрим систему
(1)Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:
, (2)где
– так называемая невязка между выходом и наблюдением; 
– полученная оценка состояния и выхода.Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы
и его оценкой 
: 
.Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим
.Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то
, и значит 
.Матрица
будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.Пример: найти L для системы
для корней характеристического уравнения
.Решение:
.Составим характеристические полиномы:
Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:
Отсюда получим, что
.Чтобы
, необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы 
главные диагональные миноры были положительными. Проверим это: 
Значит,
.1. Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977
2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под ред. Е. А. Санковского. Минск, 1973.
3. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем.