Теория устойчивости систем (стр. 5 из 6)

Это условие является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности производной

. Перепишем его в виде

. (14)

Согласно второй теореме об асимптотической устойчивости состояний равновесия zk=0, e=0 системы (12) будет асимптотически устойчиво. При выполнении неравенства

(см. выше), получим, что

. (15)

Это будет означать асимптотическую устойчивость тривиального решения xk=0, y=0 системы уравнений (11). Таким образом, неравенства (14) и (15) являются достаточным условием асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (11).

Когда характеристическое уравнение матрицы A имеет один нулевой корень, то выделим компоненту z1 вектор-функции

в виде . Тогда система (12) запишется в виде:

где

– (n-1)-мерная вектор-функция, J’ – диагональная матрица порядка (n-1)x(n-1), и – (n-1)-мерные вектор-столбцы, b0 и c0 – скалярные величины. Функцию Ляпунова будем искать в виде

.

Если квадратичная форма

является положительно определенной и a>0, то функция будет положительно определенной в пространстве .

Для того чтобы выражение в фигурных скобках представляло собой отрицательно определенную квадратичную форму, необходимо и достаточно, чтобы

Если b0c0<0, то можно подобрать такое положительное a, чтобы выполнялось равенство

.

Тогда производная будет знакоотрицательной функцией.

11. Экспоненциальная устойчивость

Пусть свободное движение системы S описывается уравнением

(1)

где функция

определена, непрерывна и дифференцируем на некотором открытом множестве

Полагаем, что

, то есть существует равновесие

, а в области определения выполняются неравенства:

– решение данной системы при начальных условиях . Равновесие называется экспоненциально устойчивым, если для любых значений из области ||x0||<r, t0>0 можно выбрать такие два положительные числа M и a, что для всех t>t0 справедливо неравенство:

. (2)

Кривая

будет мажорантой для кривой .

Согласно теореме Красовского, если каждое решение

системы (1) удовлетворяет условию (2) экспоненциальной устойчивости положения равновесия , то в области существует функция Ляпунова , такая, что ее полная производная по времени в силу уравнений движения имеет знак, противоположный знаку V. Функция V удовлетворяет оценкам:

, (3)

где с1, c2, c3, c4 – вещественные числа,

.

Условия теоремы всегда выполняются для линейных стационарных асимптотически устойчивых систем, и в этом случае функция Ляпунова не зависит от t и представляет собой квадратичную форму

,

При t®¥ в устойчивой свободно движущейся системе с функцией Ляпунова вида

и, следовательно, функция Ляпунова V также стремится к нулю. Из (3) следует, что

.

Заменим во втором неравенстве из (3) правую часть

большой величиной . Неравенство усилится:

. (5)

Это линейное дифференциальное неравенство, на основе которого можно получить мажоранту и построить мажорирующую модель сравнения.

. (5a)

Это уравнение, соответствующее предыдущему неравенству или порожденное неравенством. Решение этого уравнения имеет вид:

. (6)

Представим полученное решение в виде равенства:

,

где d(t) – неизвестная функция времени, о которой можно сказать лишь то, что она неотрицательна для всех t³t0, для которых выполняется (5). Тогда решение:

.

Поскольку d(t) положительна, получим неравенство

. (7)

Если выбрать V0=z0, правая часть этого неравенства становится равной решению (6), и мы получим:

.

Заменим в правой части (7) V0 на бόльшую величину

, а в левой V(t) – на меньшую :

. (8)

Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим линейное относительно

неравенство

.

Таким образом решение z(t) уравнения (5a), определяемое (6), будет мажорировать:

а) функцию Ляпунова V(t), если V(t0)≤z0, что следует из (7) и (6);

б) функцию квадрата нормы переменной состояния

, если , что вытекает из (8) и (6).

Поскольку матрица Hположительно определенная , то все ее собственные значения вещественны и положительны, и мы можем выразить через них c1 и c2:

(9)

где lm(H) – наименьшее, а lM(H) – наибольшее из собственных значений матрицы H. Далее