Теория устойчивости систем (стр. 4 из 6)

Мы получили также квадратичную форму. Поэтому чтобы производная по времени от функции Ляпунова была отрицательно определенной, эта квадратичная форма должна быть отрицательно определенной. Обозначим:

.

Зададим матрицу G как некоторую положительно определенную матрицу. Тогда мы получим уравнение относительно матрицы H, называемое уравнением Ляпунова.

Если матрица H, найденная из этого уравнения, является положительно определенной матрицей, то система устойчива, в противном случае система неустойчива.

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова

Рассмотрим анализ устойчивости состояния равновесия некоторого класса нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова. Полагаем, что нелинейная САР состоит из линейного объекта регулирования и нелинейного регулятора. Поведение объекта регулирования описывается линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в векторной записи имеет вид:

, (1)

где

– вектор координат, характеризующих состояние объекта регулирования;

y – скалярная координата, характеризующая воздействие регулятора на объект регулирования (регулирующее воздействие).

Матрица А полагается невырожденной (detA

Регулятор имеет в своём составе сервомеханизм, управление которого

(2)

и чувствительный момент, формирующий сигнал ошибки

, (3)

где

– вектор постоянных коэффициентов; r – скалярный параметр обратной связи. Относительно нелинейной функции будем полагать, что , если e¹0. В точке e=0 допускается разрыв непрерывности первого рода, функция f(e) предполагается непрерывной при e¹0.

Введем следующую классификацию рассматриваемых нелинейных САР в зависимости от характера корней характеристического уравнения матрицы A. САР будет:

1) собственно устойчива, если все корни характеристического уравнения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то есть Reli<0;

2) нейтральна по координатам x1,…,xk, если Rel1=Rel2=…=Relk=0, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части;

3) собственно неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть.

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения матрицы A простые и удовлетворяют условию Reli≤0, i=1,2,…,n. Определим состояния равновесия, которые могут быть в нелинейной САР, описываемой уравнениями (1)–(3). Эти состояния равновесия представляют собой решения системы линейных алгебраических уравнений

(4)

Рассмотрим вспомогательную систему уравнений:

. (5)

Пусть определитель этой системы не равен нулю:

. (6)

В этом случае эта система уравнений имеет единственное решение, которое мы найдем по правилу Крамера:

(7)

.

Если a2=0, то из второго уравнения системы (4) следует, что e=0, и, согласно равенствам (7) получаем xk=0 (k=1,…,n) и y=0. Таким образом, система дифференциальных уравнений (1)–(3) имеет единственное состояние равновесия с координатами

xk=0, y=0 (k=1,…,n). (8)

Если a2¹0, то система уравнений (4) может иметь несколько решений. Из (7) и (4) следует

(9)

Это уравнение может иметь различные решения в зависимости от знака величины Ba2 и формы кривой f(e). Если Ba2<0, то уравнение (9) имеет единственное решение e=0, и система уравнений (4) имеет решение (8). Если Ba2>0, то уравнение (9) может иметь несколько решений. Обозначим их e1, …, em; тогда система (4) имеет m решений, определяемых равенствами

xki=Akei (k=1,…,n), yi=Bei (i=1,…,m). (10)

Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции f(e) и значений a2 и B в САР возможны следующие виды состояния равновесия:

1) Единственное состояние равновесия (8);

2) Конечное число состояний равновесия (10).

Исследование устойчивости любого из состояний равновесия (10) может быть сведено к рассмотрению устойчивости тривиального решения (8).

Пусть a1=1, a2=0. Тогда

. (11)

Исследование устойчивости тривиального решения системы (11) удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической форме. Канонической формой уравнений (11) назовем такой их вид, когда матрица A приведена к жордановой форме. Для любой числовой матрицы A существует такая невырожденная матрица T, что T-1AT=J, где J – жорданова форма матрицы A.

Сделаем в системе (11) замену переменных:

Тогда из (11):

или

.

Пусть

, тогда

. (12)

Эта система уравнений является канонической формой уравнений движения. Мы рассматриваем случай простых корней характеристического уравнения матрицы A, поэтому J=diagA.

Для того, чтобы состоянию равновесия xk=0, y=0 системы уравнений (11) соответствовало единственное состояние равновесия zk=0, e=0 последней системы уравнений, требуется, чтобы определитель системы (12) был отличен от нуля, то есть

.

Учитывая, что J-1=T-1A-1T,

, получаем:

.

Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (12), приведенной к канонической форме. Для исследования построим функцию Ляпунову специального вида, предложенную А. И. Лурье, с помощью этой функции найдем условия, накладываемые на параметры регулятора, при выполнении которых тривиальное решение систем (12) и (11) асимптотически устойчиво.

Пусть все корни характеристического уравнения det(A–lE)=0 простые и лежат в левой полуплоскости, то есть Reli<0, i=1,2,…,n. Функцию Ляпунова будем искать в виде

.

Чтобы

была положительно определенной, требуется, чтобы первое слагаемое представляло собой положительно определенную квадратичную форму, тогда первое слагаемое будет строго положительным для всех

, удовлетворяющих условию . Второе слагаемое в силу условий, накладываемых на функцию f(e), будет строго положительной для всех e, удовлетворяющих условию e¹0. Таким образом, функция будет определенно положительной, если квадратичная форма положительно определена.

Составим полную производную функции

по времени t в силу (12):

Так как B – симметрична, то BT=B, получим

.

Заменим C=–(JTB+BJ). Матрица С симметрична, поэтому

Видно, что

является квадратичной формой относительно z1,…,zn, f(e). Если характеристические числа матрицы A удовлетворяют условию lj+li¹0, то по заданной симметричной матрице C однозначно определяется матрица B:

. (13)

Пусть матрица A устойчива, то есть ее характеристические числа лежат в левой полуплоскости. Существует теорема, которая утверждает, что если С – матрица некоторой положительно определенной квадратичной формы, то определенная по формуле (13) матрица B также является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

Получим условия, накладываемые на параметры САР для того, чтобы функция

была функцией Ляпунова. Возьмем некоторую матрицу C положительно определенной квадратичной формы, тогда матрица B тоже будет матрицей некоторой положительно определенной квадратичной формы. Для того, чтобы функция была функцией Ляпунова, требуется, чтобы ее производная

в силу системы (12) была отрицательно определенной функцией. Для положительной определенности функции – требуется, согласно критерию Сильвестра, положительность всех главных диагональных миноров матрицы квадратичной формы. Так как матрица C положительно определенная, то первые n неравенств критерия выполняются, и остается одно: