Теория устойчивости систем (стр. 3 из 6)

Функция V(x1,…,xn) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в указанной области G, если для любого

.

Функция V(x1,…,xn) называется положительно определенной (отрицательно определенной) в той же области G, если для любого

, причем тогда и только тогда, когда =0.

Функции V(x1,…,xn) первого типа называют знакопостоянными, второго типа – знакоопределенными.

Достаточно просто определяется знакоопределенность в том случае, если функция V(x1,…,xn) представляет собой квадратичную форму, то есть

.

Тогда функция V(x1,…,xn) является положительно определенной, если положительно определена вышеуказанная квадратичная форма.

Дадим знакоопределенной функции V(x1,…,xn) геометрическую интерпретацию. Рассмотрим функцию двух переменных V(x1,x2). На плоскости x1, x2 линия V(x1,x2)=с (c – некоторое число) представляет собой замкнутую кривую, содержащую внутри себя начало координат (рис. 3). При c=0 кривая стягивается в начало координат.

Пусть si(t) – некоторое решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям si(t0)=xi0.

Полной производной по времени t функции V(x1,…,xn) в силу системы (1) называется функция

,

или, учитывая формулу полной производной,

.

Из этой формулы следует, что производная

в силу системы (1) не зависит от выбранного решения s(t), а является функцией точки . Иначе полученное выражение можно записать так:

.

Производная

представляет собой скалярное произведение вектора

на вектор фазовой скорости . При

>0 фазовые траектории системы (1) пересекают поверхность в сторону возрастания

, а при <0 – в сторону убывания.

Положительно определенные функции

, производные которых в силу системы (1) являются отрицательно определенными или знакоотрицательными, называются функциями Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости гласит, что если для системы уравнений (1) существует положительно определенная функция

, производная которой в силу системы (1) знакоотрицательна, то тривиальное решение

системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует положительно определенная функция

, производная которой в силу системы (1) отрицательно определена. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости гласит, что тогда тривиальное решение

системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова о неустойчивости утверждает, что если для системы уравнений (1) существует непрерывная функция

, удовлетворяющая условию , производная которой в силу системы (1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова.

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений

Пусть поведение САР описывается системой дифференциальных уравнений

(1)

Пусть

, то есть начало координат является состоянием равновесия. Будем полагать, что функции fi(x1,…,xn), i=1,2,…,n имеют непрерывные частные производные в некоторой области . Разложим функции fi(x1,…,xn) в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0,…,0):

(2)

а функции ji(x1,…,xn) содержат члены разложения порядка малости выше первого относительно переменных x1,…,xn и поэтому

. (3)

С учетом равенств (2) систему (1) можно переписать в виде

где A=[aij] – числовая матрица, а

– вектор-столбец, удовлетворяющий условию

.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

называется системой первого приближения для системы уравнений (1).

Функцию fi(x1,…,xn) можно получить в другом виде, не только разложением в ряд Тейлора. Существенно при этом, чтобы нелинейные члены ji(x1,…,xn) удовлетворяли условию (3).

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению гласит, что тривиальное решение системы

асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического уравнения матрицы A этой системы имеют отрицательные вещественные части, то есть Reli<0, i=1,2,…,n.

Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению, если среди корней характеристического уравнения матрицы A имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то тривиальное решение данной системы неустойчиво.

В том случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, нельзя судить об устойчивости тривиального решения данной системы по уравнениям первого приближения. В этом случае, называемом критическим, устойчивость или неустойчивость тривиального решения зависит от нелинейной части

. Путем соответствующего выбора можно сделать решение либо устойчивым, либо неустойчивым.

Пример 1: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений

.

Система первого приближения для этой системы имеет вид

.

Характеристическое уравнение

.

Его корни:

. Первый корень лежит в правой полуплоскости. Значит, решение исходной системы неустойчиво.

Пример 2: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений

.

Система первого приближения:

.

Характеристическое уравнение:

.

Его корни: l1=l2=–1.

Оба корня лежат в левой полуплоскости, значит, тривиальное решение системы устойчиво.

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова.

Рассмотрим линейную стационарную систему:

(1)

Пусть положение равновесия этой системы будет находится в точке

. Будем искать функцию Ляпунова в виде:

Рассмотрим производную этой функции в силу уравнения (1):

.