Розробка алгоритму та програми чисельного розвязку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою (стр. 6 из 9)

У рівнянні (2.5) присутні суми добутків двох типів. Перша сума складається з добутків елементів a_ij – матриці A і елементів вектора невідомих

, у яких j<i, а для добутків другої суми маємо j>i. Для побудови добутків першої суми використовуються вектори і , приклад структури яких показаний на рис. 2.5. У векторі зберігаються номери тих вузлів, які пов'язані з даним розглядаємим вузлом, і їх номера менше номера даного вузла. Наприклад, розглянемо вузол з номером 5 (див. рис. 2.3). Цей вузол входить в елементи з номерами 2 і 3. У силу цього він має зв'язок з вузлами 4, 2 і 1, номера яких менше 5. Номера цих вузлів записуються у вектор у послідовності, визначеній номерами елементів і правилом обходу їх вузлів. На рис. 2.3 стрілками показаний початок і напрямок обходу вузлів елементів. Цим пояснюється порядок появи номерів 4, 2 і 1 у векторі . У векторі зберігаються номери індексів, що координують у векторі розташування номера першого вузла всього масиву номерів вузлів, пов'язаних з розглядаємим вузлом. Наприклад, як видно на рис. 2.3, масив вузлів, пов'язаних з вузлом 5, починається з індексу 6. Останній індекс масиву визначається початковим індексом вузла, наступного за розглянутим мінус одиницю. Наприклад, для вузла 5 останній індекс масиву у векторі рівний 8=9-1, де номер 9 визначає початок масиву вузлів для вузла 6 (див. рис. 2.3).

Зовсім аналогічно будуються ще два вектори

і , що містять інформацію про номери вузлів, пов'язаних з даним розглядаємим вузлом, але номера яких більше номера даного вузла. На рис. 2.5 зображено приклад конструкції зазначених векторів стосовно до кінцево-елементної моделі, зображеної на рис. 2.3. У векторі вказується початковий індекс, що фіксує початок списку вузлів, розміщених у векторі і пов'язаних з розглядаємим вузлом.

1	17	1	1	1	1	1	5
2	1	2	1	2	5	2	6
3	2	3	2	3	0	3	2
4	0	4	4	4	8	4	3
5	4	5	2	5	13	5	5
6	7	6	1	6	15	6	6
7	11	7	4	7	1	7	3
8	12	8	5	8	18	8	7
9	13	9	2	9	8
10	1	10	9
11	4	11	6
12	7	12	5
13	7	13	9
14	8	14	6
15	4	15	9
16	6	16	8
17	5	17	9
18	9

Рисунок 2.5 – Структура векторів-вказівників

У тих рідких випадках, коли той або інший розглядаємий вузол кінцево-елементної моделі не має зв'язку з вузлами, номера яких менше або більше номера даного вузла, тоді у відповідні гнізда векторів

або заносяться нулі. Наприклад, вузол 4 (див. рис. 2.3) не має зв'язку з вузлами, номера яких менше 4, це враховується записом нуля в гніздо 4 вектора (рис. 2.5). Вузол 3 не має зв'язку з вузлами, номера яких більше 3 – цій обставині відповідає запис нуля в гніздо 3 вектора . Виключення становить запис в 1-е гніздо вектора , куди заноситься номер останнього гнізда вектора . Для всіх інших вузлів ці параметри визначаються тривіально. Для кожної кінцево-елементної моделі інформаційні вектори будуються один раз – відразу ж після того, як закінчена побудова масиву, що описує кінцеві елементи сітки.

Структура вектора

(див. рис. 2.4) у значній мірі повторює структуру вектора . Ненульові наддіагональні елементи a_ij матриці A зберігаються у векторі порядково, а порядок їх розміщення в межах рядка визначається порядком розміщення індексів у векторі .

Тепер розглянемо побудову сум добутків, що входять у рівняння (2.5). Розгляд почнемо з другої суми, а саме:

При фіксованому індексі i визначаються номери першого і останнього гнізд вектора

, у яких розміщаються номери вузлів, пов'язаних з j-м вузлом, і для яких j>i. Наприклад, для вузла 5 (див. рис. 2.3) маємо: номер 1-го гнізда 13, а номер останнього гнізда 14=15-1. Номера першого і останнього гнізд визначають у векторі діапазон розміщення ненульових елементів матриці A, які приймають участь у добутках суми (2.6). Крім того, ці ж номера гнізд визначають у векторі діапазон розміщення номерів відповідних елементів x_i вектора . Таким чином, наприклад, для вузла 5 сума (2.6) складається з двох додатків: