Багатосітковий метод – метод розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, заснований на використанні послідовності зменшуваних сіток і операторів переходу від однієї сітки до іншої. Сітки будуються на основі більших значень у матриці системи, що дозволяє використовувати цей метод при рішенні еліптичних рівнянь навіть на нерегулярних сітках.
де A – n×n матриця з елементами aij. Для зручності зіставимо індекси з вузлами сітки, таким чином ui являє собою значення u у вузлі i. Множину вузлів сітки позначимо як Ω={1,2,…,n}. Основна ідея багатосіткових методів полягає в тому, що помилка, яка не може бути усунута методами релаксації, повинна бути прибрана за допомогою корекції з розв’язку на грубій сітці.
Використовуючи верхній індекс як номер рівня введемо наступні позначення:
Послідовність сіток
, причому 
Сіткові оператори A=A1,A2,…,AM.
Оператори інтерполяції Pk, k=1,2,…,M-1.
Оператори згладжування Sk, k=1,2,…,M-1.
Усі ці компоненти багатосіткового методу будуються на першому етапі, відомому як етап побудови.
Етап побудови.
Дорівняти k=1.
Розділити Ωk на непересічні множини Ck і Fk.
Дорівняти Ωk+1=Ck.
Побудувати оператор інтерполяції Pk.
Побудувати Ak+1=(Pk)TAkPk.
Побудувати якщо необхідно Sk.
Якщо сітка Ωk досить мала, дорівняти M=k+1 і зупинитися. Інакше k=k+1 і перехід на крок 2.
Як тільки етап побудови завершений, може бути визначений рекурсивний цикл побудови розв’язку.
Алгоритм: MGV(Ak, Pk, Sk, uk, fk).
Якщо k=M, розв'язати AMuM=fM використовуючи прямий метод.
Інакше.
Застосувати метод релаксації Sk μ1 раз до Akuk=fk.
Зробити корекцію на грубій сітці.
Обчислити rk=fk−Akuk.
Обчислити rk+1=(Pk)Trk.
Застосувати MGV(Ak+1, Pk+1, Sk+1, ek+1, rk+1).
Обновити розв’язок uk=uk+Pkek+1.
Застосувати метод релаксації Sk μ2 раз до Akuk=fk.
Вищенаведений алгоритм описує V(µ1, µ2) – цикл.
Вибір послідовності сіток і оператора інтерполяції є найбільш важливим елементом етапу побудови і багато в чому визначає якість багатосіткового методу. Критерієм якості є дві вимірювані величини: фактор збіжності – що показує, наскільки швидко сходиться метод, тобто яка кількість ітерацій потрібна для досягнення заданої точності; складність оператора – визначає кількість операцій і об'єм пам'яті, необхідної для кожної ітерації методу.
Складність оператора Cop розраховується як відношення кількості ненульових елементів у всіх матрицях Ak, k=1,2,…,n до кількості ненульових елементів у матриці першого рівня A1=A.
1.2.5 Метод Ланцоша
Для розв’язку СЛАР високоїрозмірності, матриця коефіцієнтів якої зберігається в компактному нижчеописаному вигляді, найбільш зручним ітераційним методом є метод Ланцоша [4], схема якого має вигляд:
де ai=(ri-1,ri-1)/(Asi,si), bi=(ri,ri)/(ri-1,ri-1).
Перевагою даного методу є його висока швидкість збіжності до точного розв’язку. Крім того, доведено, що він має властивість «квадратичного закінчення», тобто для додатньо визначеної матриці можна гарантовано одержати точнийрозв’язок при кількості ітерацій k≤n. Розмір необхідної пам'яті на кожній ітерації не змінюється, тому що не вимагає перетворення матриці A. За критерій зупинки даного ітераційного процесу звичайно використовують співвідношення:
де ε– задана точність. За інший критерій збіжності іноді зручніше використовувати середньоквадратичну різницю між рішеннями, отриманими на сусідніх ітераціях:
Середньоквадратичну різницю необхідно контролювати при виконанні кожних k наперед заданих ітерацій.
Недоліком методу Ланцоша є сильна залежність збіжності від точності обчислення напрямів спуску.
Практика показує, що при рішенні СЛАР із сильно розрідженими матрицями коефіцієнтів метод Ланцоша має досить високу збіжність, причому в якості початкового наближення можна брати будь-які числа (наприклад, нулі або праву частину).
2. Схеми компактного зберігання розріджених матриць
Одним з важливих достоїнств МСЕ є те, що в результаті його застосування, як правило, виникають позитивно визначені, симетричні і добре обумовлені матриці коефіцієнтів. Крім того, вони звичайно мають таку важливу властивість, як низька щільність, що при правильній нумерації вузлів кінцево-елементної розбивки тіла приводить до групування ненульових елементів стрічкою певної ширини уздовж головної діагоналі. Це і пояснює той факт, що більшість методів розв’язку СЛАР, застосовуваних разом із МСЕ, орієнтована на розв’язок систем зі стрічковою структурою матриці коефіцієнтів.
Симетричність матриці коефіцієнтів дозволяє не запам'ятовувати майже половину її елементів, а при рішенні СЛАР зменшити об'єм обчислень і, як наслідок, знизити кількість помилок округлення.
На жаль, існують цілі класи задач, для яких ширина стрічки прагне до її порядку. Наприклад, при дослідженні за допомогою МСЕ контактних задач механіки деформованого твердого тіла, у яких у взаємодії беруть участь більше двох тіл, ширина стрічки дорівнює розмірності глобальної матриці жорсткості всіх контактуючих тіл. Тому при більших порядках СЛАР ітераційні методи розв’язку часто виявляються кращими.
У деяких ситуаціях, наприклад, при моделюванні динамічних процесів, доводиться розв’язувати велику кількість систем рівнянь з однієї і тою же матрицею коефіцієнтів. У цьому випадку вартість прямої схеми може збігатися з вартістю розв’язку трикутної системи при відомому розкладанні, оскільки вартістю єдиного розкладання, віднесеного до всіх систем, можна знехтувати. У цих ситуаціях часто вірно і те, що число ітерацій, необхідних ітераційній схемі, дуже невелике, оскільки є хороші початкові вектори.
Усі ці факти, а також простота програмної реалізації більшості ітераційних методів розв’язку СЛАР і обумовлюють їхню популярність.
Застосування ітераційних методів дозволяє суттєво скоротити витрати оперативної пам'яті комп'ютера за рахунок того, що при формуванні глобальної матриці жорсткості досить фіксувати тільки її ненульові елементи. У зв'язку з цим при використанні кінцево-елементної технології виникає проблема розробки ефективних алгоритмів формування, зберігання і використання розріджених матриць.
.