У кожному з рівнянь системи (1.8) перенесемо в праву частину всі члени з вільними невідомими xr+1,...,xn. Тоді одержимо систему, яка містить r рівнянь з r базисними невідомими. Оскільки визначник цієї системи є базисний мінор Mr, то система має єдинийрозв’язок щодо базисних невідомих, який можна знайти по формулах Крамера. Даючи вільним невідомим довільні числові значення, одержимо загальнийрозв’язок вихідної системи.
Однорідна система лінійних рівнянь. Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь з n невідомими:
Оскільки додавання стовпця з нулів не змінює рангу матриці системи, то на підставі теореми Кронекера-Kaпeллі ця система завжди сумісна і має, принаймні, нульовийрозв’язок. Якщо визначник системи відмінний від нуля і число рівнянь системи дорівнює числу невідомих, то по теоремі Крамера нульовийрозв’язок є єдиним.
У тому випадку, коли ранг матриці системи менше числа невідомих, дана система крім нульового розв’язку буде мати і ненульові розв’язки. Для знаходження цих розв’язків у системі (1.9) виділяємо r<n лінійно незалежних рівнянь, інші відкидаємо. У виділених рівняннях у лівій частині залишаємо r базисних невідомих, а інші n-r вільних невідомих переносимо в праву частину. Тоді приходимо до системи, розв’язуючи яку по формулах Крамера, виразимо r базисних невідомих x1,...,хr через n-r вільних невідомих.
1.1.3 Метод головних елементів
Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими:
де елементи aij (i,j=1,…,n)утворюють розширену матрицю системи
. Виберемо найбільший по модулю і не належачий стовпцю вільних членів елемент apq матриці , який називається головним елементом, і обчислимо множники mi=-aiq/apq для всіх рядків з номерами i≠p (р-й рядок, що містить головний елемент, називається головним рядком).Далі до кожного другорядного i-го рядку додамо головний рядок, помножений на відповідний множник mi.
У результаті одержимо нову матрицю, усі елементи q-го стовпця якої, крім apq, складаються з нулів.
Відкинувши цей стовпець і головний p-й рядок, одержимо нову матрицю, число рядків і стовпців якої на одиницю менше. Повторюємо ті ж операції з отриманою матрицею, після чого одержуємо нову матрицю і т.д.
Таким чином, побудуємо послідовність матриць. Для визначення невідомих xj поєднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього.
Викладений метод розв’язку систем лінійних рівнянь називається методом головних елементів. Необхідна умова його застосування полягає в тому, що визначник матриці не дорівнює нулю [6,7].
1.1.4 Схема Халецького
Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь дана в матричному вигляді:
, де А – квадратна матриця розмірності n; 
, 
– вектори-стовпці.Представимо матрицю А у вигляді добутку нижньої трикутної матриці С і верхньої трикутної матриці В з одиничною діагоналлю, тобто А=СВ, де
Причому елементи сij і bij визначаються по формулах:
Рівняння
можна записати в наступному вигляді: 
Добуток матриці B на вектор-стовпець
є вектором-стовпцем, який позначимо через 
: 
Тоді рівняння (1.13) перепишемо у вигляді:
Тут елементи сij відомі, тому що матриця А системи
вважається вже розкладеною на добуток двох трикутних матриць С і В.Перемноживши матриці в лівій частині рівності (1.15), одержуємо систему рівнянь, з якої одержимо наступні формули для визначення невідомих:
Невідомі yi зручно обчислювати разом з елементами bij.Після того, як усі yi визначені по формулах (1.16), підставляємо їх у рівняння (1.14) [8].
Оскільки коефіцієнти bij визначені в (1.12), то значення невідомих, починаючи з останнього, обчислюємо по наступних формулах:
